不等式思维导图
中心主题：不等式
基础概念
- 定义
- 用不等号（如
>,<, , , ）表示大小关系的式子。
- 用不等号（如
- 不等号
>: 大于<: 小于- : 大于或等于
- : 小于或等于
- : 不等于
- 不等式的解
使不等式成立的未知数的值。
- 不等式的解集
一个不等式所有解的集合。
- 解不等式
求不等式解集的过程。
- 同解不等式
如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式。
不等式的基本性质
- 性质1：对称性
a > b⇔b < a
- 性质2：传递性
a > b,b > c⇒a > c
- 性质3：加法法则
a > b⇒a + c > b + c(c为任意实数)- 推论：不等式中的任意一项可以改变符号后,从不等号的一边移到另一边。
- 性质4：乘法法则 (核心)
- 情况1：当
c > 0时，a > b⇒ac > bc - 情况2：当
c < 0时，a > b⇒ac < bc(不等号方向改变！) - 情况3：当
c = 0时，a > b⇒ac = bc
- 情况1：当
- 性质5：乘方法则
- 当
a > b > 0时：aⁿ > bⁿ(n为正整数)
- 当
- 性质6：开方法则
- 当
a > b > 0时：ⁿ√a > ⁿ√b(n为正整数，且n为奇数时，a,b可不为正)
- 当
一元一次不等式
- 定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式。
- 标准形式
ax + b > 0或ax + b < 0(a≠0)
- 解法步骤
- 去分母：同乘各分母的最小公倍数（注意：最小公倍数恒为正，不改变不等号方向）。
- 去括号。
- 移项：将含未知数的项移到一边,常数项移到另一边。
- 合并同类项。
- 系数化为1：同除以未知数的系数（关键步骤！必须判断系数的正负，以决定是否改变不等号方向）。
- 若
a > 0，则x > -b/a - 若
a < 0，则x < -b/a
- 若
- 在数轴上表示解集
>或<：用空心圆圈 表示不包括该点。- 或 ：用实心圆点 表示包括该点。
- 方向：向右为
>或 ，向左为<或 。
一元一次不等式组
- 定义
由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的不等式组。
- 解集
- 不等式组中所有不等式解集的公共部分。
- 解法步骤
- 分别求解：求出不等式组中每个不等式的解集。
- 确定公共部分：将每个不等式的解集在同一数轴上表示出来,找出它们的公共部分。
- 写出最终解集：
- 同大取大：
x > a且x > b(a < b) ⇒x > b - 同小取小：
x < a且x < b(a < b) ⇒x < a - 大小小大中间找：
x > a且x < b(a < b) ⇒a < x < b - 大大小小无解了：
x > a且x < b(a ≥ b) ⇒ 无解
- 同大取大：
- 在数轴上表示
取所有解集的重叠区域。
特殊类型不等式
- 绝对值不等式
- 核心思想：去掉绝对值符号。
|x| > a型- 若
a > 0，则x > a或x < -a - 若
a ≤ 0，则 x为任意实数 (R)
- 若
|x| < a型- 若
a > 0，则-a < x < a - 若
a ≤ 0，则 无解
- 若
- 分式不等式
- 核心思想：移项、通分、化成整式不等式。切记：不能直接去分母！
- 步骤：
- 移项，使右边为0：
f(x)/g(x) > 0 - 通分,合并成一个分式。
- 转化为整式不等式：
f(x)·g(x) > 0(分母不为0) - 通过数轴穿根法求解。
- 移项，使右边为0：
- 数轴穿根法：
- 将各因式的根标在数轴上。
- 从数轴右上方开始穿线。
- 根据不等号方向 (
>或<) 取解集区间。 - 注意：遇到偶次重根，穿根时不穿过数轴；遇到奇次重根,正常穿过。
不等式的应用
- 求函数定义域
分母不为零,偶次根号内非负等。
- 求函数值域
利用函数的单调性、基本不等式等。
- 比较数的大小
作差法、作商法。
- 实际应用问题
- 步骤：
- 审题：理解题意,找出已知量和未知量。
- 设元：设未知数。
- 找关系：根据题意，列出不等式（组）。
- 求解：解不等式（组）。
- 检验：检验解是否符合题意（如现实意义、隐含条件）。
- 作答：写出答案。
- 步骤：
重要工具：基本不等式
- 公式
a² + b² ≥ 2ab(当且仅当a = b时,等号成立)- 均值不等式：
a, b ∈ R⁺(a+b)/2 ≥ √(ab)(当且仅当a = b时,等号成立)a+b ≥ 2√(ab)ab ≤ (a+b)²/4
- 使用条件
- 一正：
a, b为正数。 - 二定：或和为定值,或积为定值。
- 三相等：等号成立的条件。
- 一正：
- 应用
求最值（注意“定值”和“相等”的条件）。
注意事项与易错点
- 乘除负数
- 最易错点！ 不等式两边同乘或同除以一个负数时，必须改变不等号的方向。
- 不等式与方程的区别
方程的解通常是有限个，而不等式的解集通常是无限个（一个或几个区间）。
- 分式不等式
- 切记不能直接去分母,必须移项通分后转化为整式不等式。
- 端点
在数轴上表示解集时,注意空心圆圈和实心圆点的区别。
- 无解
记住一元一次不等式组“大大小小”时无解的情况。
- 基本不等式
- 忘记检查“一正、二定、三相等”,导致误用。
