第一板块：逻辑推理与趣味数学

不依赖复杂的计算,而是需要孩子仔细审题，通过分析、排除、假设等方法找到答案。

例题1：真假话问题

甲、乙、丙三人中，有一位是老师，一位是医生，一位是工程师，现在知道：

1. 老师和医生年龄不同。
2. 最大的年龄不是医生。
3. 医生和工程师是朋友。 请问：甲、乙、丙三人的职业分别是什么？

【解析】

1. 分析关键信息：题目中关于“医生”的信息最多，所以我们可以从“医生”入手。
2. 从条件1和条件2入手：“老师和医生年龄不同”说明老师 ≠ 医生。“最大的年龄不是医生”说明医生不是年龄最大的那个人。
3. 从条件3入手：“医生和工程师是朋友”，这说明医生 ≠ 工程师。
4. 得出结论：既然医生既不是老师，也不是工程师，那么医生只能是剩下的人，假设甲是医生。
5. 验证：如果甲是医生，那么根据条件3，工程师和甲是朋友，所以工程师只能是乙或丙，根据条件2，医生（甲）不是年龄最大的，那么年龄最大的人就是老师，剩下的乙和丙中，年龄大的就是老师，另一个就是工程师。

【答案】 甲是医生，乙和丙中年龄较大的是老师，另一个是工程师。（具体是谁是老师谁是工程师，信息不足，但可以确定甲的职业）

例题2：数字谜题

在下面的乘法算式中,相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问，“我爱数学”四个字分别代表什么数字？

   我
 × 我爱
  ------
   数学
  我爱
  ------
  我爱数学

【解析】 这是一个经典的数字谜题，需要利用乘法的进位规则来推理。

1. 分析竖式结构：这是一个三位数乘以两位数，结果是四位数。
   • “我” × “我爱” = “数学” (一个两位数)
   • “我” × “我” = “我爱” (一个两位数，且十位数字和个位数字都是“我”)
2. 从关键点突破：我们先看“我” × “我” = “我爱”，这意味着一个一位数乘以自己，结果是一个两位数，且这个两位数的十位和个位数字都和这个一位数相同。
   • 我们来尝试1-9：
     • 1×1=1 (不是两位数)
     • 2×2=4 (不是两位数)
     • 5×5=25 (十位是2，个位是5，不符合)
     • 6×6=36 (十位是3，个位是6，不符合)
     • 7×7=49 (十位是4，个位是9，不符合)
     • 8×8=64 (十位是6，个位是4，不符合)
     • 9×9=81 (十位是8，个位是1，不符合)
   • 看起来这个思路似乎不对,我们换一个角度，从整个竖式来看。
3. 重新分析：观察竖式，“我爱数学” = “我” × “我爱” × 10 + “数学”。
   • 设“我”=A，“爱”=B，“学”=C，“数”=D。
   • 竖式可以表示为：A × (10A+B) = 10 × (100A+10B+C) + (10D+C)
   • 这个方程比较复杂,我们回到更直观的观察。
4. 观察乘数和积：“我” × “我爱” = “数学” (两位数)。“我” × “我爱” × 10 + “数学” = “我爱数学” (四位数)，这说明“我” × “我爱” 是一个两位数，而“我” × “我爱” × 10 是一个接近四位数的三位数。
5. 尝试代入法：我们从“我”的可能值入手。“我”是一个一位数，且“我” × “我爱” 是两位数，我”不能太大。
   • 我”=1，我爱”=11，“我” × “我爱” = 11，不等于“数学”。
   • 我”=2，我爱”=22，“我” × “我爱” = 44，等于“数学”，我们代入验证：

        2
      × 22
      ------
        44   (数学)
       44    (我爱)
      ------
       484   (我爱数学)

     这个竖式是成立的。

   • 为了严谨,我们可以再试一个。“我”=3，“我爱”=33，“我” × “我爱” = 99，等于“数学”，代入验证：

        3
      × 33
      ------
        99   (数学)
       99    (我爱)
      ------
      1086   (我爱数学)

     这个竖式也成立。

【答案】 这道题至少有两个解：

1. 解一：我=2，爱=2，数=4，学=4，算式：2 × 22 = 484。
2. 解二：我=3，爱=3，数=9，学=9，算式：3 × 33 = 1086。 (注：这类谜题有时有唯一解，有时有多个解，关键在于培养孩子多角度思考和验证的习惯。)

第二板块：数论与规律探索

考察孩子对数字特征的敏感度和发现规律的能力。

例题3：找规律填数

请找出下面数列的规律,并填上括号里的数。 1, 3, 7, 15, 31, ( ), 127

【解析】

1. 观察相邻数差：
   • 3 - 1 = 2
   • 7 - 3 = 4
   • 15 - 7 = 8
   • 31 - 15 = 16
2. 发现差值的规律：差值分别是 2, 4, 8, 16，这是一个明显的规律，后一个差值是前一个差值的2倍。
3. 计算下一个数：下一个差值应该是 16 × 2 = 32，所以括号里的数是 31 + 32 = 63。
4. 验证：再下一个差值应该是 32 × 2 = 64，63 + 64 = 127，与数列最后一个数相符。

【答案】 括号里应填 63。

例题4：数字特征问题

一个自然数,加上100后是一个完全平方数，再加上168后，又是一个完全平方数，请问这个数是多少？

【解析】

1. 设立未知数：设这个自然数为 x。
2. 根据题意列出关系式：
   • x + 100 是一个完全平方数，可以表示为 a²。
   • x + 100 + 168 也是一个完全平方数，可以表示为 b²。
3. 建立方程：
   • x + 100 = a² ...(1)
   • x + 268 = b² ...(2)
4. 消元：用方程(2)减去方程(1)，得到：
   • (x + 268) - (x + 100) = b² - a²
   • 168 = b² - a²
5. 因式分解：根据平方差公式 b² - a² = (b + a)(b - a)，
   • (b + a)(b - a) = 168
6. 分析因数对：因为 a 和 b 都是自然数，且 b > a，(b+a) 和 (b-a) 都是自然数，(b+a) > (b-a)。b+a 和 b-a 的奇偶性相同（因为 a 和 b 要么都是奇数，要么都是偶数）。
   • 我们来找出168的所有两个正整数的因数对：
     • 1 × 168
     • 2 × 84
     • 3 × 56
     • 4 × 42
     • 6 × 28
     • 7 × 24
     • 8 × 21
     • 12 × 14
   • 筛选出奇偶性相同的因数对：只有 12 × 14。
7. 解方程组：
   • b + a = 14
   • b - a = 12
   • 将两个方程相加,得 2b = 26，b = 13。
   • 将 b = 13 代入 b + a = 14，得 13 + a = 14，a = 1。
8. 求解 x：将 a = 1 代入方程(1) x + 100 = a²：
   • x + 100 = 1²
   • x + 100 = 1
   • x = 1 - 100 = -99
9. 验证：x = -99 不是自然数，这说明我们漏掉了什么，哦，因数对 (b+a) 和 (b-a) 也可以是负数，但因为 b>a>0，所以它们都是正数，让我们重新审视因数对。(b+a) 和 (b-a) 可以是 (168, 1), (84, 2) 等，我们再来试一组，6 × 28。
   • b + a = 28
   • b - a = 6
   • 相加得 2b = 34，b = 17，相减得 2a = 22，a = 11。
   • 代入方程(1)：x + 100 = 11²，x + 100 = 121，x = 21。
   • 验证：x + 100 = 121 (11的平方)，x + 268 = 21 + 268 = 289 (17的平方)，符合题意！

【答案】 这个自然数是 21。

第三板块：图形与空间想象

需要孩子理解图形的特征,并能进行简单的组合、分割和变换。

例题5：巧求面积

一个正方形的边长为4厘米,以它的一个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画一个四分之一圆（如图），求图中阴影部分的面积。

（想象一下：一个正方形，左上角有一个四分之一圆，阴影部分是正方形内，四分之一圆外的部分）

【解析】

1. 分析图形构成：阴影部分是由两部分组成的：一个直角三角形和一个“月牙形”区域，直接求这两部分面积比较麻烦。
2. 使用“整体减去部分”的思想：阴影部分的面积 = 正方形的面积 - 四分之一圆的面积。
3. 计算正方形面积：边长为4厘米，所以面积是 4 × 4 = 16 平方厘米。
4. 计算四分之一圆面积：半径 r = 4 厘米，圆的面积公式是 πr²，所以四分之一圆的面积是 (1/4) × π × 4² = (1/4) × π × 16 = 4π 平方厘米。
5. 求阴影面积：16 - 4π 平方厘米。

【答案】 阴影部分的面积是 (16 - 4π) 平方厘米。（如果取π≈3.14，结果约为 16 - 12.56 = 3.44 平方厘米）

例题6：图形分割

请将一个任意三角形（如图所示）沿直线剪两刀，剪成三块，使这三块可以拼成一个长方形。

【解析】 这是一个经典的几何变换问题，关键在于找到三角形和长方形之间的“桥梁”。

1. 找到中点：找到三角形两条边的中点，在AB边上找到中点D，在AC边上找到中点E。
2. 连接中点：连接DE，根据“三角形中位线定理”，DE平行于底边BC，并且长度是BC的一半。
3. 第一次剪裁：沿着DE线剪开，这样，原来的三角形被分成了一个小的三角形ADE（顶角）和一个梯形DBCE（底部）。
4. 旋转梯形：将梯形DBCE绕着DE的中点（或者任意一个顶点，比如D）旋转180度，因为DE是中位线，旋转后，梯形的底边BC会与原三角形的底边BC在一条直线上，并且长度相等，从而拼合成一个平行四边形。
5. 第二次剪裁：现在我们得到了一个平行四边形，要把它变成长方形，需要剪开一个直角，从平行四边形的一个顶点（比如B）向对边作高（垂线），沿着这条高剪开。
6. 拼成长方形：将剪下的小直角三角形平移到另一侧，就可以拼成一个标准的长方形了。

【答案】

1. 任意三角形ABC,找到AB、AC的中点D、E。
2. 连接DE,沿线DE剪开，得到△ADE和梯形DBCE。
3. 将梯形DBCE绕DE旋转180°，拼成一个平行四边形。
4. 在这个平行四边形上,从顶点向对边作高，沿线剪开，将剪下的部分平移，即可拼成长方形。

给家长和孩子的建议

1. 鼓励多角度思考：不要满足于一种解法，引导孩子思考“还有没有别的方法？”
2. 重视过程而非结果：解题的思路、尝试和失败的过程，比最终答案更重要，和孩子一起讨论“你是怎么想的？”
3. 联系生活实际：比如购物时计算折扣、规划旅行路线等，都是生活中的思维训练。
4. 保持耐心和兴趣：思维训练是“慢功夫”，不要因为做不出来而气馁，可以适当降低难度，建立孩子的自信心。 和解析能对您和您的孩子有所帮助！