整式 知识体系思维导图
中心主题：整式
一级分支一：核心概念
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1 代数式
- 定义：用运算符号（+、-、×、÷、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子。
- 特点：
- 可以含有数、字母。
- 字母可以表示未知数,也可以表示已知数。
- 分类：
- 有理式：除式中含有字母的代数式。
- 整式：分母中不含字母的有理式。
- 分式：分母中含有字母的有理式。
- 无理式：含有字母开方运算的代数式（如
√a）。
- 有理式：除式中含有字母的代数式。
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2 单项式
- 定义：由数与字母的乘积组成的代数式。
- 组成部分：
- 系数：单项式中的数字因数。
- 注意：系数包括前面的符号（如
-3xy的系数是 -3）。 - 单独一个字母或常数（如
a,-5），系数分别是1和-5。
- 注意：系数包括前面的符号（如
- 次数：所有字母的指数之和。
- 单独一个非零常数,次数是
0。 - 单独一个字母,次数是
1。
- 单独一个非零常数,次数是
- 字母：单项式中出现的字母。
- 系数：单项式中的数字因数。
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3 多项式
- 定义：几个单项式的和。
- 组成部分：
- 项：多项式中的每个单项式。
- 常数项：不含字母的项。
- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项。（关键！）
- 次数：多项式中次数最高的项的次数。
- 项数：多项式中单项式的个数。
- 项：多项式中的每个单项式。
一级分支二：整式的分类
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1 按项数分类
- 单项式：只有一项。
- 示例：
5,-a²b,x
- 示例：
- 多项式：有两项或两项以上。
- 二项式：有两项。
- 示例：
x + 2,a² - b²
- 示例：
- 三项式：有三项。
- 示例：
x² - 2x + 1
- 示例：
- ... 以此类推。
- 二项式：有两项。
- 单项式：只有一项。
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2 按次数分类
- 一次式：最高次数是 1。
- 示例：
2x + 1,3y - 5
- 示例：
- 二次式：最高次数是 2。
- 示例：
x² + 2x - 3,xy + y
- 示例：
- 三次式：最高次数是 3。
- 示例：
x³ - 1,x²y + xy²
- 示例：
- 高次式：四次及以上的多项式。
- 一次式：最高次数是 1。
一级分支三：整式的运算
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1 加减法
- 法则：去括号，然后合并同类项。
- 合并同类项：
- 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
- 口诀：同类项，两不变，系数相加，其余不变。
- 去括号法则：
- 括号前是“+”号：去掉括号和“+”号，括号里各项符号不变。
- 括号前是“-”号：去掉括号和“-”号，括号里各项符号都改变。
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2 乘法
- 幂的运算性质 (基础)
a^m · a^n = a^(m+n)(同底数幂相乘，底数不变，指数相加)(a^m)^n = a^(mn)(幂的乘方，底数不变，指数相乘)(ab)^n = a^n · b^n(积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)
- 单项式 × 单项式
- 法则：系数相乘，同底数幂相乘，对于只在其中一个单项式中出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
- 单项式 × 多项式
- 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（分配律）
m(a + b + c) = ma + mb + mc
- 多项式 × 多项式
- 法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（广义分配律）
(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb
- 乘法公式 (重点)
- 平方差公式：
(a + b)(a - b) = a² - b²特点：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。
- 完全平方公式：
(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²- 特点：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加上（减去）它们的积的2倍。
- 平方差公式：
- 幂的运算性质 (基础)
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3 除法
- 同底数幂相除
- 法则：
a^m ÷ a^n = a^(m-n)(a ≠ 0, m > n) - 底数不变,指数相减。
- 法则：
- 单项式 ÷ 单项式
- 法则：系数相除，同底数幂分别相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
- 多项式 ÷ 单项式
- 法则：把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。（分配律）
(ma + mb + mc) ÷ m = a + b + c
- 同底数幂相除
一级分支四：因式分解
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1 定义
- 把一个多项式化为几个整式的积的形式。
- 与整式乘法的关系：互为逆运算。
- 乘法：
整式 × 整式 → 多项式 - 因式分解：
多项式 → 整式 × 整式
- 乘法：
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2 常用方法
- 提公因式法
- 步骤：找出各项的公因式，提取出来。
- 关键：公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积。
- 示例：
ax + ay + az = a(x + y + z)
- 公式法
- 平方差公式：
a² - b² = (a + b)(a - b) - 完全平方公式：
a² + 2ab + b² = (a + b)²a² - 2ab + b² = (a - b)²
- 平方差公式：
- 十字相乘法
- 适用：二次三项式
ax² + bx + c(a ≠ 0)。 - 方法：寻找
p,q,m,n，使得p·q = a，m·n = c，且p·n + q·m = b。 - 示例：
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
- 适用：二次三项式
- 分组分解法
- 适用：四项或四项以上的多项式。
- 方法：将多项式适当分组，使每组能进行因式分解，然后组与组之间再提取公因式或使用公式。
- 示例：
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
- 提公因式法
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3 因式分解的一般步骤
- 提公因式（首先看是否有公因式）。
- 用公式（其次看是否能用平方差、完全平方公式）。
- 十字相乘（再次看是否为二次三项式）。
- 分组分解（最后考虑分组）。
- 检查：直到每个因式都不能再分解为止。
一级分支五：应用
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1 简化求值
先将整式化简（去括号、合并同类项），再将字母的值代入计算，使运算更简便。
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2 解方程或不等式
- 整式是方程（如
2x + 1 = 5）和不等式（如3x - 2 > 4）的基本组成部分。
- 整式是方程（如
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3 解决实际问题
- 列式：用含有字母的整式表示数量关系。
- 应用题类型：
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间 (
s = vt) - 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间 (
W = pt) - 几何问题：用整式表示周长、面积、体积等。
- 示例：长为
a，宽为b的长方形，面积为ab，周长为2(a + b)。
- 示例：长为
- 增长率问题：原产量为
a，增长率为x，则增长后的产量为a(1 + x)。
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间 (
总结与提示
- 核心：整式的加减本质是合并同类项，整式的乘法核心是幂的运算和分配律。
- 重点：熟练掌握乘法公式和因式分解的几种方法，它们是简化运算和后续学习（如解一元二次方程）的基础。
- 难点：准确理解概念（如系数、次数、同类项），灵活运用运算律和公式，以及因式分解的顺序选择。
- 易错点：
- 符号问题（去括号、负号）。
- 混淆
a² + b²和(a + b)²。 - 因式分解不彻底（如
x⁴ - 1应分解为(x² + 1)(x + 1)(x - 1)，而不是(x² + 1)(x² - 1)）。
希望这份思维导图能帮助你构建起关于“整式”的清晰知识网络！
