高中数学必修二 思维导图 (总览)

核心主题：空间与图形的代数化与系统化

• 第一部分：立体几何初步

  • 空间几何体

    • 结构特征
      • 棱柱: 两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。 (侧棱平行且相等,底面是全等多边形)
      • 棱锥: 一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。 (底面是多边形,侧面是三角形)
      • 棱台: 用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分。 (上下底面是相似多边形)
      • 圆柱: 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体。 (轴截面是矩形)
      • 圆锥: 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体。 (轴截面是等腰三角形)
      • 圆台: 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面和底面之间的部分。 (轴截面是等腰梯形)
      • 球: 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。 (截面是圆)
    • 三视图
      • 主视图: 从前向后看。
      • 左视图: 从左向右看。
      • 俯视图: 从上向下看。
      • 画法原则: 长对正、高平齐、宽相等。
    • 表面积与体积
      • 表面积 = 侧面积 + 底面积
        • 棱柱/棱锥/棱台：各面面积之和。
        • 圆柱：$S = 2\pi r l + 2\pi r^2$ (l: 母线长)
        • 圆锥：$S = \pi r l + \pi r^2$ (l: 母线长)
        • 圆台：$S = \pi (r_1 + r_2)l + \pi (r_1^2 + r_2^2)$ (l: 母线长)
        • 球：$S = 4\pi R^2$
      • 体积
        • 柱体（棱柱、圆柱）：$V = Sh$ (S: 底面积, h: 高)
        • 锥体（棱锥、圆锥）：$V = \frac{1}{3}Sh$
        • 台体（棱台、圆台）：$V = \frac{1}{3}(S' + \sqrt{S'S} + S)h$ (S', S: 上下底面积)
        • 球：$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

  • 点、线、面之间的位置关系

    • 公理与定理
      • 公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。(确定直线在平面内)
      • 公理2: 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。(确定一个平面)
      • 公理3: 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。(确定两平面的交线)
      • 公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行。(平行线的传递性)
      • 定理: 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
    • 线线关系
      • 位置关系: 相交、平行、异面。
      • 判定定理 (平行): 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
      • 性质定理 (平行): 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
    • 线面关系
      • 位置关系: 直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
      • 判定定理 (平行): 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
      • 性质定理 (平行): 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
      • 判定定理 (垂直): 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
      • 性质定理 (垂直): 两条平行线中一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面。
    • 面面关系
      • 位置关系: 两平面平行、两平面相交。
      • 判定定理 (平行): 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
      • 性质定理 (平行): 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
      • 判定定理 (垂直): 一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
      • 性质定理 (垂直): 两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。

• 第二部分：直线与方程

  • 直线的倾斜角与斜率
    • 倾斜角: 当直线 $l$ 与 x 轴相交时，x 轴正向与直线 $l$ 向上方向之间所成的角，范围: $[0°, 180°)$。
    • 斜率: $k = \tan\alpha$ ($\alpha \neq 90°$),表示直线的倾斜程度。
    • 斜率公式: $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ 在直线 $l$ 上，则 $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ($x_1 \neq x_2$)。
    • 特殊情况:
      • $\alpha = 0° \Rightarrow k = 0$ (水平线)
      • $\alpha = 90° \Rightarrow k$ 不存在 (垂直线)
  • 直线的方程
    • 点斜式: $y - y_1 = k(x - x_1)$ (已知斜率和一点)
    • 斜截式: $y = kx + b$ (已知斜率和 y 轴截距 b)
    • 两点式: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ (已知两点)
    • 截距式: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (已知 x 轴截距 a 和 y 轴截距 b)
    • 一般式: $Ax + By + C = 0$ (A, B 不同时为 0)
  • 两条直线的位置关系
    • 平行 ($l_1 \parallel l_2$):
      • 斜率存在: $k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$。
      • 一般式: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$。
    • 相交 ($l_1$ 与 $l_2$ 相交):
      • 斜率存在: $k_1 \neq k_2$。
      • 一般式: $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$。
    • 重合 ($l_1$ 与 $l_2$ 重合):
      • 斜率存在: $k_1 = k_2$ 且 $b_1 = b_2$。
      • 一般式: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$。
    • 垂直 ($l_1 \perp l_2$):
      • 斜率存在: $k_1 \cdot k_2 = -1$。
      • 一般式: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ (包含一条斜率为0，另一条斜率不存在的情况)。
    • 交点坐标: 解联立方程组 $\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1=0 \ A_2x+B_2y+C_2=0 \end{cases}$。
  • 距离公式
    • 两点间距离: $P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$，则 $|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$。
    • 点到直线的距离: 点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离 $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
    • 两条平行直线间的距离: $l_1: Ax+By+C_1=0$, $l_2: Ax+By+C_2=0$，则 $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

• 第三部分：圆与方程

  • 圆的方程
    • 标准方程: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，圆心 $(a,b)$，半径 $r$。
    • 一般方程: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，圆心 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$，半径 $r = \frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$ (需满足 $D^2+E^2-4F > 0$)。
  • 点与圆的位置关系
    • 点 $P(x_0, y_0)$，圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
    • 点在圆上: $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2 = r^2$。
    • 点在圆内: $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2 < r^2$。
    • 点在圆外: $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2 > r^2$。
  • 直线与圆的位置关系
    • 几何法: 比较圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 的关系。
      • 相离: $d > r$。
      • 相切: $d = r$。
      • 相交: $d < r$。
    • 代数法: 联立直线与圆的方程，消元后得到一元二次方程，判断判别式 $\Delta$ 的符号。
      • 相离: $\Delta < 0$。
      • 相切: $\Delta = 0$。
      • 相交: $\Delta > 0$。
  • 圆与圆的位置关系
    • 设两圆半径分别为 $r_1, r_2$，圆心距为 $d$。
    • 外离: $d > r_1 + r_2$。
    • 外切: $d = r_1 + r_2$。
    • 相交: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$。
    • 内切: $d = |r_1 - r_2|$。
    • 内含: $0 \le d < |r_1 - r_2|$。
  • 圆的切线方程
    • 过圆上一点 $(x_1, y_1)$ 的切线: $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$。
    • 过圆外一点 $(x_1, y_1)$ 的切线: 先求切点，或利用“点斜式”设方程，利用相切条件 ($d=r$) 求斜率。
  • 空间直角坐标系
    • 坐标: 点 $P$ 在 x, y, z 轴上的投影坐标 $(x, y, z)$。
    • 两点间距离公式: $P_1(x_1,y_1,z_1)$, $P_2(x_2,y_2,z_2)$，则 $|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$。
    • 中点坐标公式: $M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$。

核心思想与方法总结

1. 数形结合思想: 这是解析几何的灵魂，将几何问题（位置关系、形状大小）转化为代数问题（方程、不等式、函数），通过代数运算解决几何问题，再将结果“翻译”回几何结论。
2. 转化与化归思想:
   • 立体几何中，将空间问题（线线、线面、面面关系）转化为平面问题（三角形、四边形）来解决。
   • 在直线与圆的位置关系中，将“交点个数”问题转化为“判别式”或“距离与半径关系”问题。
3. 分类讨论思想: 在处理斜率、直线位置关系、点线面关系等问题时，需要对斜率是否存在、点的位置等情况进行分类讨论,确保全面性。
4. 函数与方程思想: 直线、圆的方程本身就是函数或方程的模型，通过研究方程的解（联立方程组）来判断图形的位置关系,是解析几何的核心方法。

希望这份思维导图能帮助你更好地理解和掌握高中数学必修二的内容！祝你学习进步！