乘法运算律 思维导图
中心主题：乘法运算律
基本运算律
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乘法交换律
- 定义: 两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
- 字母表示:
a × b = b × a - 文字举例:
5 × 4 = 4 × 5(都等于20) - 图示举例:
5个盒子 × 每个盒子4个苹果 = 4个盒子 × 每个盒子5个苹果
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乘法结合律
- 定义: 三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变。
- 字母表示:
(a × b) × c = a × (b × c) - 文字举例:
(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)(都等于24) - 图示举例:
- 先算
(2×3)×4: 把2组和3个一堆合并成6个一堆，再乘以4。 - 先算
2×(3×4): 把4组和3个一堆合并成12个一堆，再乘以2。 - 最终结果都是24个。
- 先算
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乘法分配律
- 定义: 两个数的和与一个数相乘，可以把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。
- 字母表示:
(a + b) × c = a × c + b × c - 文字举例:
(10 + 5) × 2 = 10 × 2 + 5 × 2(都等于30) - 图示举例:
- 左边：先算
(10+5)=15，再算15×2=30。 - 右边：先算
10×2=20，再算5×2=10，20+10=30。 - 本质: 将一个整体拆分计算，是计算简化的核心。
- 左边：先算
推广定律
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乘法交换律的推广
- 多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。
- 举例:
2 × 3 × 4 = 3 × 2 × 4 = 4 × 3 × 2
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乘法结合律的推广
- 多个数相乘，任意改变因数的运算顺序，积不变。
- 举例:
(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)
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乘法分配律的推广
- 一个数乘以几个数的和（或差），等于这个数分别乘以这几个数，再把积相加（或相减）。
- 形式一:
(a + b + c) × d = a × d + b × d + c × d - 形式二:
(a - b) × c = a × c - b × c - 举例:
(100 + 2) × 45 = 100 × 45 + 2 × 45
运算律之间的关系
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交换律 vs. 结合律
- 共同点: 都不改变计算结果。
- 不同点:
- 交换律: 改变的是因数的位置 (
a × b→b × a)，至少涉及两个数。 - 结合律: 改变的是运算的顺序 (
(a×b)×c→a×(b×c))，至少涉及三个数。
- 交换律: 改变的是因数的位置 (
- 联系: 它们经常一起使用，使计算更灵活。
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分配律 vs. 交换律/结合律
- 核心区别:
- 分配律: 连接了乘法和加法两种运算，是“分”与“合”的过程。
- 交换律/结合律: 只涉及乘法一种运算，不涉及加法。
- 重要性: 分配律是乘法运算律中最核心、最常用的一条，是进行简便运算和代数变形的基础。
- 核心区别:
主要应用
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简便计算
- 凑整法: 利用分配律将一个数拆分成整十、整百的数。
- 举例:
125 × 88 = 125 × (8 × 11) = (125 × 8) × 11 = 1000 × 11 = 11000
- 举例:
- 提取公因数法: 利用分配律的逆运算，提取共同的因数。
- 举例:
35 × 27 + 35 × 73 = 35 × (27 + 73) = 35 × 100 = 3500
- 举例:
- 凑整法: 利用分配律将一个数拆分成整十、整百的数。
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解决实际问题
- 问题类型: 涉及多个相同部分的总和、面积计算、购物总价等。
- 举例: 一个长方形花坛，长12米，宽(5+3)米，求面积。
12 × (5 + 3) = 12 × 5 + 12 × 3 = 60 + 36 = 96(平方米)- 这里用分配律比先算括号里的更直观。
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代数基础
- 去括号/添括号: 是代数式化简和求解方程的基础。
- 举例:
m(a + b) = ma + mb(分配律) - 举例:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd(多次应用分配律)
- 举例:
- 去括号/添括号: 是代数式化简和求解方程的基础。
总结与对比
| 运算律 | 核心思想 | 字母表示 | |
|---|---|---|---|
| 交换律 | 位置互换 | a × b = b × a |
位置、顺序 |
| 结合律 | 顺序重组 | (a × b) × c = a × (b × c) |
括号、分组 |
| 分配律 | 乘法与加法的桥梁 | (a + b) × c = a × c + b × c |
分配、拆分、提取 |
核心记忆点：
- 交换律和结合律是乘法内部的“自家人”游戏，只和乘法有关。
- 分配律是乘法和加法之间的“外交官”，是连接两种运算的桥梁，也是简化计算的“万能钥匙”。
