整式的乘除 思维导图
中心主题：整式的乘除
整式的乘法
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核心目标： 将单项式与多项式、多项式与多项式相乘，最终转化为单项式相乘。
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基础：单项式乘法
- 法则： 系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里出现的字母及其指数作为积的一部分。
- 公式：
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ(同底数幂相乘，底数不变，指数相加) - 示例：
3x²y · (-2xy³) = 3·(-2) · x²·x · y·y³ = -6x³y⁴
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单项式 × 多项式
- 法则： 利用乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 公式：
m(a + b + c) = ma + mb + mc - 本质： 转化为多个单项式乘法的和。
- 示例：
-2x²(3x - y + 1) = -2x²·3x + (-2x²)·(-y) + (-2x²)·1 = -6x³ + 2x²y - 2x²
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多项式 × 多项式
- 法则： 一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 本质： 转化为多个单项式乘法的和。
- 示例：
(x + 2)(x - 3) = x·x + x·(-3) + 2·x + 2·(-3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6
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三个重要的乘法公式 (幂的运算应用)
- 平方差公式
- 结构：
(a + b)(a - b) - 结果：
a² - b² - 口诀： 两数和乘两数差，等于平方差。
- 示例：
(2m + n)(2m - n) = (2m)² - n² = 4m² - n²
- 结构：
- 完全平方公式
- (a + b)²
- 结果：
a² + 2ab + b² - 口诀： 首平方，加尾平方，首尾两倍中间放。
- 示例：
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9
- 结果：
- (a - b)²
- 结果：
a² - 2ab + b² - 口诀： 首平方，减尾平方，首尾两倍中间放（带负号）。
- 示例：
(y - 4)² = y² - 2·y·4 + 4² = y² - 8y + 16
- 结果：
- (a + b)²
- 立方和与立方差公式
- 立方和：
(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³ - 立方差：
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³ - 应用： 用于简化特定形式的多项式乘法或因式分解。
- 立方和：
- 平方差公式
整式的除法
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核心目标： 将多项式除以单项式或多项式，最终转化为单项式除法或式子的变形。
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基础：单项式除法
- 法则： 系数相除，同底数幂相除，只在被除式里出现的字母及其指数作为商的一部分。
- 公式：
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ(m > n, a ≠ 0) - 示例：
8x⁴y²z ÷ (-2x²y) = 8÷(-2) · x⁴÷x² · y²÷y · z = -4x²yz
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多项式 ÷ 单项式
- 法则： 用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
- 公式：
(ma + mb + mc) ÷ m = a + b + c - 本质： 转化为多个单项式除法的和。
- 示例：
(12a³b² - 6a²b + 3ab) ÷ (3ab) = 12a³b²÷(3ab) - 6a²b÷(3ab) + 3ab÷(3ab) = 4a²b - 2a + 1
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多项式 ÷ 多项式 (多项式长除法)
- 适用情况： 一般用于一个多项式除以一个次数较低的多项式。
- 步骤：
- 排列： 将被除式和除式都按某个字母的降幂排列。
- 相除： 用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商的第一项。
- 相乘： 用商的第一项乘以除式，得到积。
- 相减： 用被除式减去这个积，得到余式。
- 重复： 把余式当作新的被除式，重复步骤2-4，直到余式的次数低于除式的次数或余式为0。
- 结果表示：
被除式 = 除式 × 商式 + 余式 - 示例：
(x³ - 3x + 2) ÷ (x - 1)x³ ÷ x = x²x²·(x-1) = x³ - x²(x³ - 3x + 2) - (x³ - x²) = x² - 3x + 2x² ÷ x = xx·(x-1) = x² - x(x² - 3x + 2) - (x² - x) = -2x + 2-2x ÷ x = -2-2·(x-1) = -2x + 2(-2x + 2) - (-2x + 2) = 0- 结果： 商式为
x² + x - 2，余式为0。
核心法则与公式总结
| 类别 | 法则/公式 | 描述 |
|---|---|---|
| 幂的运算 | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
同底数幂相乘，指数相加 |
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
同底数幂相除，指数相减 (m>n) | |
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ |
幂的乘方，底数不变，指数相乘 | |
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ |
积的乘方，等于各因式分别乘方 | |
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ |
商的乘方，等于分子分母分别乘方 (b≠0) | |
| 乘法公式 | (a + b)(a - b) = a² - b² |
平方差公式 |
(a ± b)² = a² ± 2ab + b² |
完全平方公式 | |
(a ± b)(a² ∓ ab + b²) = a³ ± b³ |
立方和/差公式 | |
| 除法法则 | m(a + b + c) = ma + mb + mc |
乘法分配律（单项式×多项式） |
(ma + mb + mc) ÷ m = a + b + c |
多项式÷单项式 |
学习要点与注意事项
- 运算顺序： 严格遵守“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里”的顺序。
- 符号问题： 这是出错的重灾区，要特别注意负号的处理，尤其是在使用乘法分配律和完全平方公式时。
-2(a - b) = -2a + 2b(不要漏掉负号)-(a - b)² = -(a² - 2ab + b²) = -a² + 2ab - b²(先算平方，再添负号)
- 指数运算： 牢记幂的运算法则，不要混淆指数的加减和乘除。
- 错误示例：
a² · a³ = a⁶(应为a⁵) - 错误示例：
(a²)³ = a⁵(应为a⁶)
- 错误示例：
- 公式应用： 熟练掌握乘法公式的结构特征，能逆向运用（因式分解）和正向运用（化简求值）。
- 整体思想： 在整式运算中，可以把一个多项式看作一个整体，简化计算。
(x² + x + 1)(x² + x - 2)，可以设y = x² + x，则原式变为(y + 1)(y - 2) = y² - y - 2，最后再代回。
