计算与巧算
考察的不是死记硬背的公式,而是对数字的敏感度和灵活运用运算定律的能力。
例题1：
计算：999 × 222 + 333 × 334
思路点拨： 直接计算非常繁琐，观察数字特点，999是333的3倍，我们可以利用“乘法分配律”进行巧算。
解题步骤：
- 将999表示为
3 × 333。原式 = (3 × 333) × 222 + 333 × 334 - 利用乘法结合律，先计算
3 × 222。= 333 × (3 × 222) + 333 × 334= 333 × 666 + 333 × 334 - 333是两个乘法的共同因数，可以提取出来，应用乘法分配律。
= 333 × (666 + 334) - 计算括号内的和。
= 333 × 1000 - 得出最终结果。
= 333000
例题2：
计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30
思路点拨：
直接通分计算会很复杂，观察分母：2, 6, 12, 20, 30...可以发现它们可以拆分成两个连续自然数的积。
2 = 1 × 2
6 = 2 × 3
12 = 3 × 4
这样的分数可以拆成两个分数的差，即 1/(n × (n+1)) = 1/n - 1/(n+1)，这就是“裂项相消法”。
解题步骤：
- 将每个分数进行拆分。
原式 = 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5) + 1/(5×6)= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + (1/5 - 1/6) - 去掉括号，观察中间的项。
= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6 - 中间的
-1/2和+1/2、-1/3和+1/3等都相互抵消了。= 1 - 1/6 - 计算最终结果。
= 5/6
数论与逻辑推理
是思维拓展的重头戏,需要严谨的推理过程。
例题1： 有3个袋子，分别装着两个球，一个袋子里装着两个白球，一个袋子里装着两个黑球，还有一个袋子里装着一白一黑，但所有袋子的标签都贴错了，你只能从其中一个袋子里摸出一个球，就能确定所有袋子里球的颜色吗？应该从哪个袋子摸？
思路点拨： 关键信息是“所有标签都贴错了”，这是一个绝对的条件,我们要利用它。
解题步骤：
- 选择目标：我们应该选择标签为“一白一黑”的袋子来摸，因为其他两个袋子（标签为“两白”和“两黑”）如果摸出球，只能排除一种可能性，无法完全确定，而“一白一黑”这个标签是错的，所以这个袋子要么是“两白”，要么是“两黑”,确定性更高。
- 进行操作：我们从标签为“一白一黑”的袋子里摸出一个球。
- 分析情况：
- 情况A：如果摸出的是白球。
- 因为标签是错的,所以这个袋子不可能是一白一黑。
- 既然摸出了白球,那它也不可能是两个黑球。
- 这个袋子一定是两个白球。
- 我们确定了“两白”袋子，剩下的两个袋子，标签分别是“两白”和“两黑”。
- 标签为“两白”的袋子，因为标签是错的，所以它不可能是两白，也不可能是我们刚确定的两白（因为已经被占了），所以它只能是一白一黑。
- 剩下的那个标签为“两黑”的袋子，自然就是两个黑球了。
- 情况B：如果摸出的是黑球。
- 同理，这个袋子标签是错的，所以不可能是“一白一黑”。
- 既然摸出了黑球,那它也不可能是两个白球。
- 这个袋子一定是两个黑球。
- 后续推理同理，标签为“两黑”的袋子就是“一白一黑”，标签为“两白”的袋子就是“两个白球”。
- 情况A：如果摸出的是白球。
应该从标签为“一白一黑”的袋子里摸一个球,就能推断出所有袋子里球的颜色。
几何与空间想象
考察学生的图形观察、空间想象和动手操作能力。
例题1： 一个正方体的木块，在它的表面涂上红色，将它锯成27个大小相同的小正方体（即3×3×3），请问： (1) 三面涂有红色的小正方体有多少个？ (2) 两面涂有红色的小正方体有多少个？ (3) 一面涂有红色的小正方体有多少个？ (4) 没有涂上红色的小正方体有多少个？
思路点拨： 可以想象一个魔方,每个小正方体的涂色情况取决于它在原大正方体中的位置。
解题步骤：
-
三面涂色：这些小正方体位于大正方体的顶点处,一个正方体有8个顶点。
- 三面涂色的有 8 个。
-
两面涂色：这些小正方体位于大正方体的棱上，但不在顶点，每条棱上有3个小正方体，去掉2个顶点，剩下
3 - 2 = 1个,正方体有12条棱。- 两面涂色的有
12 × 1 = 12个。
- 两面涂色的有
-
一面涂色：这些小正方体位于大正方体的面的中心部分，不在棱上，每个面是一个3×3的网格，去掉边缘一圈，中心剩下
1 × 1 = 1个,正方体有6个面。- 一面涂色的有
6 × 1 = 6个。
- 一面涂色的有
-
没有涂色：这些小正方体位于大正方体的内部，完全被其他小正方体包围，它是一个更小的正方体，即
1 × 1 × 1。- 没有涂色的有
1个。
- 没有涂色的有
验证：8 + 12 + 6 + 1 = 27，与总数相符,答案正确。
应用题与行程问题
将生活情境与数学知识结合,考察学生分析问题和建立模型的能力。
例题1： 甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为每小时60千米；另一辆汽车从乙地开往甲地，速度为每小时80千米,几小时后两车相距210千米？
思路点拨： “相距210千米”有两种可能：
- 两车还没有相遇，此时两车走过的路程和是
420 - 210 = 210千米。 - 两车已经相遇并继续前行，此时两车走过的路程和是
420 + 210 = 630千米。
我们需要分别计算这两种情况。
解题步骤：
-
未相遇时
- 两车相向而行，速度和为
60 + 80 = 140(千米/小时)。 - 需要共同走过的路程为
420 - 210 = 210(千米)。 - 所需时间为
210 ÷ 140 = 1.5(小时)。
- 两车相向而行，速度和为
-
相遇后
- 两车相向而行，速度和仍为
140(千米/小时)。 - 需要共同走过的路程为
420 + 210 = 630(千米)。 - 所需时间为
630 ÷ 140 = 4.5(小时)。
- 两车相向而行，速度和仍为
1.5小时后或4.5小时后,两车相距210千米。
思维拓展的通用方法
不要害怕,可以尝试以下通用策略：
- 审题画图：把题目中的关键信息用图形（线段图、示意图、表格等）画出来,化抽象为具体。
- 寻找规律：观察数字、图形或事件之间是否存在某种规律（如等差、等比、周期性）。
- 假设推理：对于逻辑题，可以做一个合理的假设，然后根据这个假设进行推理，如果出现矛盾,则假设不成立。
- 逆向思考：从问题的结果出发,倒推需要满足什么条件。
- 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题（如将几何问题转化为代数问题）。
- 动手操作：对于一些几何或排列组合问题，用小纸片、小积木等动手摆一摆,能帮助你找到思路。
希望这些例题和思路能对你有所帮助！最重要的是多练习，多总结，培养自己“数学地思考”的习惯。
