数与代数 思维导图
中心主题：数与代数
第一分支：数
核心概念：数的认识、表示、大小关系和运算。
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数的认识
- 1. 自然数
- 定义：用来表示物体个数的数（0, 1, 2, 3, ...）。
- 性质：有序性、无限性。
- 基数：表示一个集合中元素的个数（如：3个苹果）。
- 序数：表示次序（如：第3名）。
- 2. 整数
- 定义：自然数（0和正整数）和负整数统称为整数。
- 分类：正整数、0、负整数。
- 在数轴上的表示：原点、正方向、单位长度。
- 3. 分数
- 定义：将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
- 分类：真分数（分子<分母）、假分数（分子≥分母）、带分数。
- 基本性质：分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数大小不变。
- 4. 小数
- 定义：分母是10, 100, 1000...的分数的另一种表示形式。
- 分类：
- 按整数部分：纯小数（整数部分为0）、带小数（整数部分不为0）。
- 按小数部分：有限小数、无限循环小数（纯循环、混循环）、无限不循环小数（无理数）。
- 5. 百分数
- 定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。
- 特点：分母固定为100，不能带单位。
- 与分数、小数的互化。
- 6. 有理数 & 无理数
- 有理数：能写成两个整数之比（p/q, q≠0）的数，包括整数、分数（有限小数和无限循环小数）。
- 无理数：不能写成两个整数之比的数，包括无限不循环小数（如：π, √2, √3）。
- 1. 自然数
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数的运算
- 1. 四则运算
- 加法：a + b = c (和)
- 减法：a - b = c (差)，是加法的逆运算。
- 乘法：a × b = c (积)，是加法的简便运算。
- 除法：a ÷ b = c (商)，是乘法的逆运算。
- 2. 运算定律
- 加法交换律：a + b = b + a
- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 乘法交换律：a × b = b × a
- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c
- 3. 运算顺序
- 同级运算：从左到右依次计算。
- 不同级运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减。
- 有括号：先算小括号()，再算中括号[]，最后算大括号{}。
- 4. 估算
- 方法：四舍五入、取整、凑整等。
- 目的：快速得到近似结果，用于检验和解决实际问题。
- 1. 四则运算
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数量关系
- 1. 常用关系式
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间
- 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间
- 价格问题：总价 = 单价 × 数量
- 利润问题：利润 = 售价 - 成本，利润率 = 利润 ÷ 成本
- 2. 比和比例
- 比：a : b (a/b)，表示两个数相除。
- 比例：表示两个比相等的式子 (a:b = c:d)。
- 比例的基本性质：在比例里，两个内项之积等于两个外项之积 (ad = bc)。
- 正比例：y/x = k (一定)，y 与 x 成正比例。
- 反比例：xy = k (一定)，y 与 x 成反比例。
- 1. 常用关系式
第二分支：代数
核心概念：用字母表示数，研究数量关系和变化规律。
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用字母表示数
- 1. 意义
- 简明地表示数量关系（如：S = vt）。
- 表示数的运算法则和公式（如：a + b = b + a）。
- 表示规律（如：第n个数是 2n+1）。
- 2. 代数式
- 定义：用运算符号（+、-、×、÷、乘方）把数和字母连接而成的式子。
- 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式（如：-3x²y）。
- 多项式：几个单项式的和（如：3x² - 2x + 1）。
- 3. 代数式的值
定义：用数值代替代数式里的字母，计算后得到的结果。
- 1. 意义
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方程与不等式
- 1. 等式与方程
- 等式：表示相等关系的式子。
- 方程：含有未知数的等式。
- 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
- 解方程：求方程的解的过程。
- 等式性质：
- 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，结果仍相等。
- 性质2：等式两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，结果仍相等。
- 2. 一元一次方程
- 标准形式：ax + b = 0 (a≠0)。
- 解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
- 3. 二元一次方程组
- 定义：含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程组。
- 解法：代入消元法、加减消元法。
- 4. 不等式
- 定义：用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）表示不等关系的式子。
- 不等式的基本性质：
- 性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，不等号方向不变。
- 性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
- 性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
- 一元一次不等式：解法与一元一次方程类似，特别注意性质3。
- 1. 等式与方程
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函数
- 1. 平面直角坐标系
- 定义：由横轴（x轴）、纵轴（y轴）和原点构成的坐标系统。
- 点的坐标：P(x, y)，横坐标在前，纵坐标在后。
- 2. 函数的概念
定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
- 3. 一次函数
- 定义：y = kx + b (k≠0, k, b为常数)。
- 正比例函数：y = kx (b=0) 是一次函数的特殊情况。
- 图像：一条直线。
- 性质：
- k > 0，y随x的增大而增大。
- k < 0，y随x的增大而减小。
- b决定直线与y轴的交点坐标(0, b)。
- 4. 反比例函数
- 定义：y = k/x (k≠0, k为常数)。
- 图像：双曲线。
- 性质：
- k > 0，图像在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。
- k < 0，图像在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
- 1. 平面直角坐标系
第三分支：应用与拓展
核心概念：将数与代数知识应用于解决实际问题。
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实际问题建模
- 1. 步骤
- 审题：理解题意，找出已知量和未知量。
- 设元：用字母表示未知数。
- 列式：根据等量关系或不等关系，列出方程或不等式。
- 求解：解方程或不等式。
- 检验：检验解的合理性。
- 作答：写出完整的答案。
- 2. 常见模型
行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题、数字问题、几何问题等。
- 1. 步骤
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探索规律
- 1. 数列规律
- 观察数列中数字的变化趋势（如：等差、等比、周期性变化）。
- 通过列表、画图等方法寻找规律。
- 2. 图形规律
- 观察图形在数量、形状、位置上的变化规律。
- 将图形问题转化为代数问题来解决。
- 1. 数列规律
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数感与符号意识
- 数感：对数的意义的理解，能够用数来表达和交流信息，能为解决问题而选择适当的算法。
- 符号意识：能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道符号运算的一般性，并利用符号解决问题。
如何使用这份思维导图
- 整体构建：先看中心主题和三个主要分支（数、代数、应用与拓展），建立宏观框架。
- 逐级细化：从每个主分支向下看，理解每个子分支的具体内容，在“数”的分支下，学习“数的认识”和“数的运算”。
- 关联记忆：注意不同分支之间的联系。“用字母表示数”是连接“数”和“代数”的桥梁；“方程”是解决“数量关系”问题的有力工具。
- 实践应用：重点关注“应用与拓展”部分，通过做题来检验和巩固你对前面知识点的理解，尝试将实际问题抽象成数学模型（方程、函数等）。
- 个性化补充：你可以根据自己的学习情况，在各个节点上添加自己的笔记、错题、典型例题或记忆口诀，让这份思维导图成为你自己的专属学习资料。
希望这份详细的思维导图能帮助你更好地掌握“数与代数”的核心知识！
