数学四则运算思维导图
中心主题：数学四则运算
加法
- 核心概念
- 定义: 将两个或多个数合并成一个数的运算。
- 符号: (加号)
- 结果: 和
- 基本性质
- 交换律:
a + b = b + a- 例子:
3 + 5 = 5 + 3
- 例子:
- 结合律:
(a + b) + c = a + (b + c)- 例子:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
- 例子:
- 交换律:
- 运算法则
- 整数加法
- 同号数相加：取相同符号，并把绝对值相加。
- 例子:
(-5) + (-3) = -8
- 例子:
- 异号数相加：取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 例子:
(-7) + 4 = -3
- 例子:
- 同号数相加：取相同符号，并把绝对值相加。
- 小数加法
- 对齐小数点,按照整数加法法则进行计算，结果点上小数点。
- 例子:
5 + 3.45 = 5.95
- 分数加法
- 同分母分数：分母不变，分子相加。
- 例子:
1/5 + 2/5 = 3/5
- 例子:
- 异分母分数：先通分（变成同分母），再按照同分母分数法则计算。
- 例子:
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
- 例子:
- 同分母分数：分母不变，分子相加。
- 整数加法
- 实际应用
- 求总数、总和
- 数量的增加
- 求几个量的和
减法
- 核心概念
- 定义: 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，是加法的逆运算。
- 符号: (减号)
- 结果: 差
- 基本性质
- 与加法的关系:
a - b = c等价于c + b = a
- 与加法的关系:
- 运算法则
- 整数减法
- 减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 例子:
5 - 8 = 5 + (-8) = -3
- 例子:
- 减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 小数减法
- 对齐小数点,按照整数减法法则进行计算，结果点上小数点。
- 例子:
8 - 3.2 = 2.6
- 分数减法
- 同分母分数：分母不变，分子相减。
- 例子:
5/7 - 2/7 = 3/7
- 例子:
- 异分母分数：先通分，再按照同分母分数法则计算。
- 例子:
3/4 - 1/2 = 3/4 - 2/4 = 1/4
- 例子:
- 同分母分数：分母不变，分子相减。
- 整数减法
- 实际应用
- 求剩余、差额
- 数量的减少
- 比较两个量的大小
乘法
- 核心概念
- 定义: 求几个相同加数和的简便运算。
- 符号: (乘号) 或 (点乘)
- 结果: 积
- 基本性质
- 交换律:
a × b = b × a- 例子:
4 × 6 = 6 × 4
- 例子:
- 结合律:
(a × b) × c = a × (b × c)- 例子:
(2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5)
- 例子:
- 分配律:
a × (b + c) = a × b + a × c- 例子:
5 × (10 + 2) = 5 × 10 + 5 × 2 = 50 + 10 = 60
- 例子:
- 交换律:
- 运算法则
- 整数乘法
- 先按整数乘法法则求出积,再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 例子:
12 × 5 = 60
- 小数乘法
- 先按整数乘法法则求出积,再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，如果位数不够，用0补足。
- 例子:
2 × 1.5 = 4.8
- 分数乘法
- 法则：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
- 例子:
2/3 × 3/4 = (2×3)/(3×4) = 6/12 = 1/2
- 例子:
- 乘法倒数: 一个数乘以分数，等于这个数乘以分数的倒数（分子分母交换位置）。
- 例子:
6 ÷ (2/3) = 6 × (3/2) = 9
- 例子:
- 法则：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
- 整数乘法
- 实际应用
- 求几个相同加数的和（倍数问题）
- 求一个数的几倍是多少
- 计算面积、体积等
除法
- 核心概念
- 定义: 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，是乘法的逆运算。
- 符号: (除号) 或 (斜杠)
- 结果: 商
- 基本性质
- 与乘法的关系:
a ÷ b = c等价于c × b = a(b ≠ 0) - 商不变性质: 被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0除外），商不变。
- 例子:
8 ÷ 4 = (8×2) ÷ (4×2) = 16 ÷ 8 = 2
- 例子:
- 与乘法的关系:
- 运算法则
- 整数除法
- 从被除数的高位起,除数是几位就看被除数的前几位。
- 例子:
84 ÷ 4 = 21
- 小数除法
- 除数是整数：按照整数除法法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 除数是小数：先移动除数的小数点，使其变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够用0补足），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
- 例子:
4 ÷ 0.8 = 64 ÷ 8 = 8
- 例子:
- 分数除法
- 法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
- 例子:
3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8
- 例子:
- 法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
- 整数除法
- 实际应用
- 平均分
- 求一个数是另一个数的几倍
- 求一个数的几分之几是多少
四则混合运算
- 运算顺序
- 一级运算: 加法和减法。
- 二级运算: 乘法和除法。
- 核心规则:
- 同级运算: 从左到右依次计算。
- 例子:
10 - 3 + 2 = 7 + 2 = 9
- 例子:
- 不同级运算: 先算二级（乘除），后算一级（加减）。
- 例子:
10 + 3 × 2 = 10 + 6 = 16
- 例子:
- 有括号: 先算小括号 里面的，再算中括号
[]里面的，最后算括号外面的。- 例子:
[(10 + 5) × 2] - 8 = [15 × 2] - 8 = 30 - 8 = 22
- 例子:
- 同级运算: 从左到右依次计算。
- 运算定律的运用
- 灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使计算简便。
- 例子 (分配律):
25 × 104 = 25 × (100 + 4) = 25×100 + 25×4 = 2500 + 100 = 2600
0和1的特性
- 与加法/减法的关系
- 任何数与0相加,得原数。
a + 0 = a - 任何数减去0,得原数。
a - 0 = a - 相同的两个数相减,得0。
a - a = 0
- 任何数与0相加,得原数。
- 与乘法/除法的关系
- 任何数与0相乘,都得0。
a × 0 = 0 - 任何数（0除外）除以0，无意义。
- 0除以任何非0的数,都得0。
0 ÷ a = 0(a ≠ 0) - 任何数（0除外）除以它本身，都得1。
a ÷ a = 1(a ≠ 0) - 1与任何数相乘,都得原数。
1 × a = a - 任何数除以1,都得原数。
a ÷ 1 = a
- 任何数与0相乘,都得0。
