考研数学三（数三）知识体系全景图

你可以将整个数学三的复习想象成一棵大树：

• 主干（三大模块）：微积分、线性代数、概率论与数理统计
• 根系（基础）：基本概念、基本理论、基本公式
• 枝干（章节）：每个模块下的各个章节
• 花果（题型与考点）：具体的知识点、常见的题型、解题方法
• 养分（工具）：计算能力、逻辑推理能力、综合应用能力

第一部分：微积分

微积分是数三分值占比最高的部分（约56%），是复习的重中之重。

第一章：函数、极限、连续

• 核心考点
  • 函数：函数的四大性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）、复合函数、分段函数、反函数。
  • 极限：
    • 定义：数列极限、函数极限。
    • 计算方法：
      • 七种未定式：$\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$。
      • 重要方法：等价无穷小替换（核心！）、洛必达法则、泰勒公式（难点）、两个重要极限。
      • 其他方法：夹逼准则、单调有界准则。
  • 连续：
    • 定义：连续性、间断点及其分类（第一类、第二类）。
    • 性质：零点定理、介值定理、闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性）。

第二章：一元函数微分学

• 核心考点
  • 导数与微分：
    • 定义：导数的几何意义（切线斜率）、物理意义；微分的定义。
    • 计算：基本求导公式、四则运算、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、高阶导数。
  • 微分中值定理及应用：
    • 三大定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
    • 应用：
      • 证明等式或不等式（构造辅助函数是关键）。
      • 证明方程根的存在性与唯一性。
  • 导数的应用：
    • 函数性态研究：单调性（一阶导）、极值（一阶、二阶导）、凹凸性（二阶导）、拐点（二阶导变号）、渐近线（水平、垂直、斜渐近线）。
    • 应用题：求最值、曲率、经济学应用（边际、弹性）。

第三章：一元函数积分学

• 核心考点
  • 不定积分：
    • 概念：原函数、不定积分。
    • 计算：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法、分部积分法（“反对幂三指”口诀）、有理函数积分。
  • 定积分：
    • 概念与性质：几何意义、可积性、7大性质（重点：奇偶性、周期性）。
    • 计算：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法。
    • 变限积分：求导、与极限结合（洛必达）、与积分结合。
  • 反常积分：无穷限积分、无界函数积分（瑕积分），判敛法与计算。
  • 定积分的应用：
    • 几何应用：求面积、旋转体体积、弧长。
    • 物理应用：功、压力、质心（数三要求较低，但基本公式要会）。

第四章：向量代数与空间解析几何

• 核心考点（数三要求较低，通常以小题形式出现）
  • 向量的线性运算、数量积、向量积。
  • 平面方程、直线方程。
  • 常见二次曲面方程与图形。

第五章：多元函数微分学

• 核心考点
  • 基本概念：多元函数、极限、连续、偏导数、全微分。
  • 计算：
    • 偏导数：一阶、二阶、复合函数、隐函数。
    • 全微分：计算公式。
    • 方向导数与梯度：概念与计算。
  • 应用：
    • 几何应用：空间曲线的切线与法平面、空间曲面的切平面与法线。
    • 极值问题：
      • 无条件极值：求驻点，用二阶偏导数判别。
      • 条件极值：拉格朗日乘数法（重点！）。

第六章：多元函数积分学

• 核心考点
  • 二重积分：
    • 计算：直角坐标（X/Y型区域）、极坐标（核心！何时用极坐标？）。
    • 应用：求体积、曲面面积。
  • 三重积分：数三要求较低，掌握直角坐标和柱坐标即可。
  • 曲线积分与曲面积分：
    • 第一类：对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分（计算为主）。
    • 第二类：对坐标的曲线积分、对坐标的曲面积分（计算为主，格林公式、高斯公式是重点难点）。
  • 重要公式：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。

第七章：无穷级数

• 核心考点
  • 常数项级数：
    • 收敛定义：部分和数列的极限。
    • 性质：线性性、级数收敛的必要条件。
    • 审敛法：
      • 正项级数：比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法。
      • 交错级数：莱布尼茨审敛法。
      • 任意项级数：绝对收敛与条件收敛。
  • 幂级数：
    • 收敛半径、收敛区间、收敛域。
    • 和函数：求导、积分、利用常见展开式。
    • 展开：将函数展开成泰勒级数或麦克劳林级数（核心！）。
  • 傅里叶级数：数三要求较低，掌握狄利克雷收敛定理和函数的傅里叶级数展开即可。

第八章：常微分方程

• 核心考点
  • 一阶微分方程：可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程。
  • 可降阶的高阶方程：$y^{(n)}=f(x)$, $y''=f(x,y')$, $y''=f(y,y')$。
  • 高阶线性微分方程：
    • 解的结构：齐次/非齐次通解结构。
    • 常系数线性方程：特征方程法求通解（核心！）。
    • 欧拉方程：变量代换法。

第二部分：线性代数

线性代数概念性强,逻辑链条清晰，各章节联系紧密，重在理解。

第一章：行列式

• 核心考点
  • 概念与性质：行列式的定义、7大性质。
  • 计算：
    • 低阶：对角线法则。
    • 高阶：按行/列展开（降阶法）、化三角形、范德蒙行列式。
  • 应用：克拉默法则（仅用于理论，计算量极大，一般不用）。

第二章：矩阵

• 核心考点
  • 概念与运算：线性运算、乘法、转置、伴随矩阵、逆矩阵。
  • 矩阵的秩：定义、求法（初等行变换）、性质。
  • 逆矩阵：定义、性质、求法（伴随法、初等变换法）。
  • 分块矩阵：概念与简单运算。
  • 矩阵方程：$AX=B$ 等形式的求解。

第三章：向量

• 核心考点
  • 线性组合与线性表示。
  • 线性相关与线性无关：核心概念！ 定义、性质、判别方法（秩、方程组）。
  • 向量组的秩：与矩阵秩的关系、极大线性无关组。
  • 向量空间：基、维数、坐标（数三要求较低）。

第四章：线性方程组

• 核心考点（线性代数的核心章节）
  • 克拉默法则。
  • 非齐次线性方程组：
    • 有解判定：$R(A) = R(A|b) = r$。
    • 解的结构：通解 = 导出组通解 + 特解。
  • 齐次线性方程组：
    • 有解判定：$R(A) = r < n$ 有非零解。
    • 解的结构：基础解系、通解。
  • 公共解、同解问题。

第五章：特征值与特征向量

• 核心考点
  • 定义与计算：求解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$ 和齐次方程组 $(\lambda E - A)X = 0$。
  • 性质：特征值的和与积（与行列式、迹的关系）。
  • 相似矩阵：定义、性质、相似对角化的条件（有n个线性无关的特征向量）。
  • 实对称矩阵：特征值都是实数、不同特征值对应的特征向量正交、必能相似对角化、正交相似对角化。

第六章：二次型

• 核心考点
  • 二次型及其矩阵表示：$f = X^TAX$。
  • 化二次型为标准形：
    • 配方法。
    • 正交变换法（核心！：求特征值、特征向量、正交化、单位化）。
  • 二次型的正定性：
    • 定义：对任意 $X \neq 0$，$f > 0$。
    • 判别法：标准形中系数全为正；特征值全为正；各阶顺序主子式全为正。

第三部分：概率论与数理统计

概率论部分公式多,模型固定；数理统计部分概念抽象，重在理解统计思想。

第一章：随机事件和概率

• 核心考点
  • 基本概念：样本空间、随机事件、关系（包含、相等、互斥、对立）、运算（并、交、差）。
  • 概率定义：统计定义、公理化定义。
  • 五大公式：
    • 加法公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
    • 减法公式：$P(A-B) = P(A) - P(AB)$。
    • 乘法公式：$P(AB) = P(A)P(B|A)$。
    • 全概率公式：将复杂事件分解。
    • 贝叶斯公式：后验概率。
  • 独立性：事件独立、独立重复试验（伯努利概型）。

第二章：随机变量及其分布

• 核心考点
  • 随机变量：离散型、连续型。
  • 分布函数：$F(x) = P(X \leq x)$，性质。
  • 概率分布/密度函数：
    • 离散型：分布律、两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布。
    • 连续型：概率密度、均匀分布、指数分布（无记忆性）、正态分布（标准正态分布表的使用）。
  • 随机变量函数的分布：$Y=g(X)$ 的分布（离散型用列表法，连续型用分布函数法/公式法）。

第三章：多维随机变量及其分布

• 核心考点
  • 联合分布：联合分布律、联合分布函数、联合概率密度。
  • 边缘分布：由联合分布求边缘分布。
  • 条件分布：条件分布律、条件概率密度。
  • 独立性：随机变量的独立性。
  • 常见二维分布：二维均匀分布、二维正态分布。
  • 函数的分布：$Z=X+Y$, $Z=max{X,Y}$, $Z=min{X,Y}$ 的分布。

第四章：随机变量的数字特征

• 核心考点
  • 一维：数学期望、方差、标准差。
    • 计算公式：$E(X)$, $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。
    • 常见分布的期望与方差：必须牢记。
  • 二维：
    • 期望与方差：$E(X)$, $E(Y)$, $D(X)$, $D(Y)$。
    • 协方差：$Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$。
    • 相关系数：$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$。
  • 性质与应用：协方差矩阵、不相关与独立的关系。

第五章：大数定律和中心极限定理

• 核心考点
  • 大数定律：切比雪夫大数定律、伯努利大数定律（频率稳定性）。
  • 中心极限定理：独立同分布中心极限定理（林德伯格-列维定理）、棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布的近似）。

第六章：样本及抽样分布

• 核心考点
  • 基本概念：总体、个体、简单随机样本、统计量。
  • 常用统计量：样本均值 $\bar{X}$、样本方差 $S^2$、样本标准差 $S$。
  • 抽样分布：
    • 正态总体：$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$, $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$, $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。
    • 三大分布：$\chi^2$ 分布、t 分布、F 分布的定义、性质及分位数。

第七章：参数估计

• 核心考点
  • 点估计：
    • 矩估计法：用样本矩估计总体矩。
    • 最大似然估计法：核心方法！ 构造似然函数，求最大值点。
  • 估计量的评选标准：无偏性、有效性、一致性。
  • 区间估计：
    • 基本概念：置信区间、置信度。
    • 正态总体参数的区间估计：单个/两个总体的均值、方差的置信区间（公式记忆）。

第八章：假设检验

• 核心考点（数三要求较低，通常以小题或大题的一部分出现）
  • 基本思想：小概率事件原理。
  • 基本步骤：提出假设、选择统计量、确定拒绝域、作出判断。
  • 单正态总体的检验：对均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的检验（U检验、t检验、$\chi^2$检验）。

如何使用这份思维导图

1. 初期（基础阶段）：对照导图，地毯式复习每一个知识点，确保没有遗漏，理解每个概念的定义、公式的来源和推导过程。
2. 中期（强化阶段）：以导图为框架，进行专题训练，看到“中值定理”，就立刻联想其所有应用题型和证明技巧，将导图上的“花果”（题型）与具体的题目对应起来。
3. 后期（冲刺阶段）：看着导图的标题，能完整地复述出该章节的所有核心概念、公式、定理和典型方法，查漏补缺，巩固薄弱环节。
4. 模拟考试：在模拟考试后，用导图来分析自己的失分点，定位到具体的知识模块，进行针对性强化。

请记住：思维导图是地图，但路要自己一步一步走。 理解、计算、练习、四者缺一不可，祝你考研成功！