f(x)=x(1−x)在闭区间[0,1]上有界，其值域为[0
函数表达式及定义域分析
给定函数为 ( f(x) = \frac{1}{x(1 x)} )，首先确定其定义域：分母不能为零，即 ( x(1 x) eq 0 )，解得 ( x eq 0 ) 且 ( x eq 1 )，函数的定义域为 ( (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty) ),我们需要分别在这三个区间内考察函数是否有界。
各区间内的极限行为与有界性判断
区间 ( (-\infty, 0) )
- 当 ( x \to -\infty )：( x(1 x) = x x^2 \approx -x^2 )（主导项为二次负项），故 ( f(x) = \frac{1}{x(1 x)} \approx \frac{1}{-x^2} \to 0^)（趋近于0的负方向），但需注意靠近端点的情况：
- 当 ( x \to 0^)（从左侧接近0）：( x(1 x) \to 0^+ )（因为 ( x<0 )，而 ( 1 x>1>0 )，乘积为正且趋于0），( f(x) = \frac{1}{x(1 x)} \to +\infty )。
- ：在 ( (-\infty, 0) ) 内，当 ( x ) 接近0时，函数值无限增大，无上界,故该区间内无界。
区间 ( (0, 1) )
- 当 ( x \to 0^+ )（从右侧接近0）：( x(1 x) \to 0^+ )（( x>0 )，( 1 x>0 )），( f(x) = \frac{1}{x(1 x)} \to +\infty )。
- 当 ( x \to 1^)（从左侧接近1）：同理，( x(1 x) \to 0^+ )，故 ( f(x) \to +\infty )。
- 中间点示例：取 ( x = \frac{1}{2} )，则 ( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \left(1 \frac{1}{2}\right)} = 4 )，但这只是局部值,无法约束整体。
- ：在 ( (0, 1) ) 内，函数在两端均趋向于正无穷大，无上界,故该区间内无界。
区间 ( (1, +\infty) )
- 当 ( x \to 1^+ )（从右侧接近1）：( x(1 x) = x(-(x 1)) = -x(x 1) \to 0^)（因为 ( x>1 )，( x 1>0 )，整体为负且趋于0），( f(x) = \frac{1}{x(1 x)} \to -\infty )。
- 当 ( x \to +\infty )：( x(1 x) = x x^2 \approx -x^2 )，故 ( f(x) \approx \frac{1}{-x^2} \to 0^)（趋近于0的负方向）。
- ：在 ( (1, +\infty) ) 内，当 ( x ) 接近1时，函数值无限减小（趋向负无穷），无下界,故该区间内无界。
通过上述分析可知，函数 ( f(x) = \frac{1}{x(1 x)} ) 在其定义域的所有子区间 ( (-\infty, 0) )、( (0, 1) )、( (1, +\infty) ) 内均不存在有限的上下界，即在任何包含定义域部分的区间内都无界。
| 区间 | 靠近左端点的极限行为 | 靠近右端点的极限行为 | 是否有界 |
|---|---|---|---|
| ( (-\infty, 0) ) | ( x \to -\infty \to 0^) | ( x \to 0^\to +\infty ) | 无界 |
| ( (0, 1) ) | ( x \to 0^+ \to +\infty ) | ( x \to 1^\to +\infty ) | 无界 |
| ( (1, +\infty) ) | ( x \to 1^+ \to -\infty ) | ( x \to +\infty \to 0^) | 无界 |
相关问题与解答
问题1：若将函数改为 ( g(x) = x(1 x) )，它在哪些区间有界？
解答：函数 ( g(x) = x(1 x) = -x^2 + x ) 是一个开口向下的抛物线，顶点在 ( x = \frac{1}{2} )，最大值为 ( g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} )，由于它是多项式函数，在整个实数域 ( \mathbb{R} ) 上都是连续且光滑的，且当 ( |x| \to \infty ) 时，( g(x) \to -\infty )，但实际上，对于任意闭区间（如有限区间），它显然有界；但在全体实数范围内，它没有下界（趋向负无穷），因此严格来说，只有在有限闭区间上才有界，在区间 [a, b] 上，g(x) 必有最大值和最小值,从而有界。
问题2：是否存在某个子区间使得原函数 ( f(x) ) 有界？如果有，请举例说明。
解答：存在，取闭区间 [a, b] 完全包含在某一个开区间内且不接触奇点（如取 [2, 3] ⊂ (1, +∞)），此时在该闭区间上，f(x) 是连续函数，根据极值定理，它在该闭区间上必有最大值和最小值，因此有界，在 [2, 3] 上，f(x) = 1/[x(1−x)]，由于 x∈[2,3]，分母 x(1−x)=x(−(x−1))=−x(x−1)，其绝对值为 x(x−1)，在 [2,3] 上的最小值为 2×(2−1)=2，最大值为 3×(3−1)=6，|f(x)| ≤ 1/2，即 f(x) 在 [2
