数学分数 思维导图
中心主题：数学分数
一级分支 1：核心概念
- 定义: 表示一个整体“1”的一部分或几份。
- 各部分名称:
- 分子: 分数线上面的数，表示取了多少份。
- 分数线: 中间的横线，表示“除以”或“平均分”。
- 分母: 分数线下面的数，表示平均分成了多少份。
- 分数单位:
- 定义：表示几分之一的分数,它是分数的基本单位。
- 举例：
3/5的分数单位是1/5，它里面有 3 个1/5。
- 与除法的关系:
a / b = a ÷ b(b ≠ 0)- 举例：
3/4表示 3 除以 4 的商。
- 与比的关系:
a / b表示 a : b (a 与 b 的比)。- 举例：
2/3可以看作 2:3。
一级分支 2：分类
- 根据分子和分母的关系:
- 真分数:
- 定义：分子 < 分母。
- 特点：值小于 1。
- 举例：
1/2,3/8。
- 假分数:
- 定义：分子 ≥ 分母。
- 特点：值大于或等于 1。
- 举例：
5/3,7/7。
- 带分数:
- 定义：一个整数和一个真分数合成的数。
- 特点：值大于 1。
- 举例：
1 1/2,3 2/5。
- 真分数:
- 根据分母是否为 10, 100, 1000...:
- 十进分数:
- 定义：分母是 10, 100, 1000... 的分数。
- 举例：
3/10,27/100。
- 普通分数:
- 定义：分母不是 10, 100, 1000... 的分数。
- 举例：
1/3,5/8。
- 十进分数:
- 根据值是否相等:
- 等价分数:
- 定义：大小相等,分子和分母不同的分数。
- 举例：
1/2,2/4,3/6。
- 最简分数:
- 定义：分子和分母只有公因数 1 的分数。
- 举例：
2/3,3/4。
- 等价分数:
一级分支 3：基本性质与大小比较
- 基本性质:
- 内容：分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数（0 除外）,分数的大小不变。
- 作用：约分和通分的理论基础。
- 大小比较:
- 同分母分数: 分子大的分数就大。
- 举例：
5/9 > 4/9。
- 举例：
- 同分子分数: 分母小的分数就大。
- 举例：
1/3 > 1/4。
- 举例：
- 异分母异分子分数:
- 通分：将分数化成同分母分数。
- 化成小数：将分数化成小数,再比较。
- 交叉相乘：
a/b和c/d，a × d > b × c，则a/b > c/d。
- 同分母分数: 分子大的分数就大。
一级分支 4：运算
- 加法:
- 同分母:
a/c + b/c = (a+b)/c - 异分母: 先通分,再按同分母加法计算。
- 同分母:
- 减法:
- 同分母:
a/c - b/c = (a-b)/c - 异分母: 先通分,再按同分母减法计算。
- 同分母:
- 乘法:
- 意义: 求一个数的几分之几是多少。
- 计算:
a/b × c/d = (a×c)/(b×d) - 带分数乘法: 先化成假分数再计算。
- 除法:
- 意义: 已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
- 计算:
a/b ÷ c/d = a/b × d/c(除以一个数等于乘以这个数的倒数)。 - 倒数: 乘积是 1 的两个数互为倒数。
- 求法：调换分子和分母的位置。
- 举例：
2/3的倒数是3/2。
- 混合运算:
- 运算顺序: 先算乘除，后算加减,有括号的先算括号里的。
- 简便运算: 灵活运用运算定律（交换律、结合律、分配律）。
- 举例：
1/2 × 99 + 1/2 = 1/2 × (99 + 1) = 1/2 × 100 = 50
- 举例：
一级分支 5：应用
- 解决实际问题:
- 求一个数的几分之几是多少: 用乘法。
- 举例：一堆苹果有 60 个，吃了
1/4，吃了多少个？60 × 1/4 = 15个。
- 举例：一堆苹果有 60 个，吃了
- 已知一个数的几分之几是多少，求这个数: 用除法或方程。
- 举例：一批货物运走了
3/5，还剩 40 吨，这批货物原有多少吨？40 ÷ (1 - 3/5) = 100吨。
- 举例：一批货物运走了
- 求一个数是另一个数的几分之几: 用除法。
- 举例：男生 25 人，女生 20 人，男生人数是女生的几分之几？
25 ÷ 20 = 5/4。
- 举例：男生 25 人，女生 20 人，男生人数是女生的几分之几？
- 求一个数的几分之几是多少: 用乘法。
- 与百分数的联系:
- 分数化百分数: 先化成小数，再化成百分数。
- 举例：
3/4 = 0.75 = 75%。
- 举例：
- 百分数化分数: 先写成分母是 100 的分数，再化简。
- 举例：
60% = 60/100 = 3/5。
- 举例：
- 分数化百分数: 先化成小数，再化成百分数。
一级分支 6：思想方法
- 数形结合思想:
- 用图形（如线段图、长方形、圆形）来表示分数,帮助理解分数的意义和运算。
- 举例：画一个长方形，平均分成 5 份，涂色 3 份，直观表示
3/5。
- 转化思想:
- 将未知问题转化为已知问题。
- 举例：异分母加减法 → 通分 → 同分母加减法；分数除法 → 乘以倒数 → 分数乘法。
- 模型思想:
- 将实际问题抽象成数学模型（如
a × b/c或a ÷ b/c）来解决。
- 将实际问题抽象成数学模型（如
