这是一个非常好的问题,它触及了复分析的核心概念。
在标准的复平面上，没有一个特定的复数与无穷远点相对应。
复数集合 C 通常被定义为所有形如 a + bi 的数，a 和 b 是实数，这个集合与二维笛卡尔坐标系（即复平面）中的所有点一一对应，在这个平面中，任何一个点，无论它离原点多远，都对应一个模（绝对值）有限的复数。|a + bi| = sqrt(a² + b²) 总是一个有限的实数。
为了处理一些数学问题（复变函数的极限、积分和整体性质），数学家们引入了一个扩展的复平面，称为**黎曼球面（Riemann Sphere）**。
在黎曼球面上,无穷远点有了一个明确的“位置”，并且可以与一个“复数”概念进行对应，下面是详细的解释：
标准复平面中的情况
在普通的复平面上：
- 没有“无穷远复数”：不存在一个复数
z满足|z| = ∞，复数集合C本身不包含无穷远元素。 - 无穷远是一个“方向”：当我们说
z → ∞时，我们指的是z的模|z|无限增大，它可以沿着任何方向（正实轴、负实轴、虚轴等）趋向于无穷远，这更像是一个过程，而不是一个点。
黎曼球面与复射影直线
为了给无穷远点一个“家”，我们构造了黎曼球面，这个模型巧妙地将无穷远点包含进来。
构造思想（球极投影）
想象一个单位球体（半径为1）放置在复平面上，使得赤道与复平面重合，南极点 S 与原点 O 接触。
- 从平面到球面：对于复平面上的任何一个点
P（除了南极点），我们连接北极点N和P，这条直线会与球面相交于另一点P'，这样，复平面上的每一个点P都被唯一地映射到球面上的一个点P'（北极点除外）。 - 处理无穷远点：考虑复平面上一个离原点越来越远的点
P（即|z| → ∞），连接N和P的直线会越来越“平”，当P趋向于无穷远时，这条直线在球面上的交点P'会趋向于北极点N。
我们定义北极点 N 为无穷远点，通过这个球极投影，我们建立了一个扩展复平面（即复平面加上一个无穷远点）与黎曼球面之间的一一对应关系。
无穷远点的性质
在黎曼球面上,无穷远点不再是一个模糊的“方向”，而是一个具体的点，它有一些非常有趣的性质：
-
一个点，而非多个点：无论在复平面上沿着哪个方向走向无穷远，在黎曼球面上都对应着同一个点——北极点，这使得“无穷远”在拓扑上是一个单一的点。
-
运算规则：为了保持运算的连续性，我们为无穷远点 定义了与复数进行运算的规则：
z + ∞ = ∞z - ∞ = ∞z / ∞ = 0(对于任何有限的复数z)z / 0 = ∞(对于任何非零的有限复数z)∞ / z = ∞(对于任何非零的有限复数z)- , ,
0 * ∞, 是未定义的，因为它们的值取决于趋近的方式。
-
与复数“对应”：在黎曼球面的框架下，我们可以将无穷远点视为复数集合的一个“添加”元素，这个扩展后的集合被称为**扩展复平面（Extended Complex Plane）**，通常记为
C ∪ {∞}或 。- 严格来说， 不是一个复数，而是添加到复数集合中的一个理想元素。
- 但在实践中，尤其是在复分析和代数几何中，我们经常说“无穷远点对应于 ”，这里的 就是指这个在黎曼球面上定义好的、拥有特定性质的理想元素。
| 场景 | 对应关系 | 解释 |
|---|---|---|
| 标准复平面 | 没有对应 | 复数集合 C 不包含无穷远元素。z → ∞ 是一个极限过程，不是一个具体的点。 |
| 黎曼球面 / 扩展复平面 | 对应于理想元素 | 通过球极投影，将无穷远点定义为黎曼球面的北极点。 是扩展复平面 Ĉ = C ∪ {∞} 中的一个元素，它是一个单一的点，并定义了特定的运算规则。 |
最准确的回答是：在扩展复平面（或黎曼球面）中，无穷远点对应于一个被记作 的理想元素。 在日常的数学讨论中，尤其是在复分析的语境下，我们通常就直接说无穷远点对应于 。
