按认知层次和技能划分（从基础到高阶）
这是最常见、最实用的分类方式，尤其适用于教育领域,它将数学思维看作一个逐步递进的层次结构。
记忆与再现思维
这是最基础的层次,强调对数学知识的记忆和直接应用。
- 特征：能准确回忆定义、公式、定理、公理等基本事实；能模仿例题解决结构完全相同的“套公式”问题。
- 例子：记住圆的面积公式 $S = \pi r^2$,并计算一个给定半径的圆的面积。
- 价值：是所有高阶思维的基础，没有对基本知识的牢固记忆,后续的思维活动将无从谈起。
理解与解释思维
在记忆的基础上，要求对知识的内涵和外延有深入的理解,并能用自己的语言进行解释和阐述。
- 特征：不仅知道“是什么”，还理解“为什么”；能将抽象的数学概念与具体实例联系起来；能用自己的话复述一个定理的含义。
- 例子：理解“函数”的本质是“一种对应关系”，而不仅仅是 $y = kx + b$ 这个公式，能解释为什么在坐标系中,一个函数图像与垂直于x轴的直线最多有一个交点。
- 价值：从被动接受知识转向主动建构知识,是批判性思维的起点。
应用与联系思维
能够将学到的数学知识应用到新的、稍有不同的情境中,并发现不同知识点之间的内在联系。
- 特征：能将实际问题抽象成数学模型（即“数学化”）；能将代数、几何、统计等不同分支的知识结合起来解决问题。
- 例子：利用相似三角形的知识来测量一个无法直接到达的物体的高度（如金字塔）；利用二次函数模型来预测一个企业的利润变化。
- 价值：体现了数学的工具性,是解决现实世界问题的关键。
分析与推理思维
这是数学思维的核心，它要求对复杂的数学结构进行拆解、比较、归纳和演绎,从而得出逻辑严谨的结论。
- 特征：
- 演绎推理：从一般到特殊，如使用公理和定理证明一个命题,这是数学证明的主要方式。
- 归纳推理：从特殊到一般，如通过观察几个具体案例,猜想出一个普遍规律。
- 类比推理：根据两个事物在某些方面的相似性,推断它们在其他方面也可能相似。
- 反证法：假设结论不成立，然后推导出矛盾,从而证明结论必须成立。
- 例子：证明“三角形内角和为180度”；通过计算几个斐波那契数列的项,归纳出其通项公式。
- 价值：保证了数学体系的严谨性和可靠性,是数学发现的根本方法。
综合与创造思维
这是最高层次的数学思维，要求将不同的元素、思想和方法进行重组，以产生全新的、原创性的结果或解决方案。
- 特征：善于提出新问题；能找到独特、巧妙、非传统的解题路径；能建立全新的数学理论或概念。
- 例子：数学家发现新的数学分支（如从研究方程根的个数到创立“群论”）；学生在解决一个难题时，想到了一个连老师都没讲过的、非常简洁的方法。
- 价值：是数学发展的驱动力,也是创新能力的源泉。
按思维方向划分（从形式到内容）
这种分类方式关注思维的运动方向,反映了数学探索的两种基本模式。
逻辑思维
这是数学思维的“骨架”，强调思维的严密性、确定性和条理性。
- 特征：遵循逻辑规则（如同一律、矛盾律、排中律）；推理过程环环相扣，每一步都有充分的依据；结论是确定无疑的。
- 表现形式：证明、计算、演绎推理。
- 例子：用几何公理和定理进行严格的逻辑推演,证明一个几何定理。
形象思维
这是数学思维的“血肉”，强调思维的直观性、想象力和整体性。
- 特征：以图形、图表、符号、模型等为载体进行思考；能在大脑中“看到”数学对象及其变化过程；善于把握问题的整体结构。
- 表现形式：数形结合、几何直观、空间想象。
- 例子：通过画出函数的图像来分析其性质（如单调性、极值）；想象一个三维几何体在空间中的旋转。
直觉思维
这是数学思维的“灵感”，是一种未经严格逻辑推理、直接洞察事物本质或得出结论的思维方式。
- 特征：突如其来、非逻辑性、快速、自信；难以言明思考过程，但结果往往是正确的,它建立在丰富的经验和深刻的理解之上。
- 表现形式：猜想、灵感、预感。
- 例子：数学家哈密顿在散步时突然想到四元数的乘法法则；面对一个复杂问题,凭感觉猜测解题的突破口。
重要关系：这三种思维并非孤立，而是相辅相成、辩证统一的，逻辑思维是验证和表达的工具，形象思维是启发和理解的桥梁，而直觉思维则是创新的火花，伟大的数学发现往往是先有直觉的火花，再用逻辑去严密化,并用形象思维去辅助理解。
按思维的具体形式划分
这种分类方式关注在解决具体数学问题时所采用的具体心智策略。
抽象思维
指从具体事物中抽取出共同的、本质的属性，舍弃其非本质属性的思维过程,这是数学定义和概念形成的基础。
- 例子：从3个苹果、3支笔、3个人中抽象出数字“3”；从各种具体的三角形中抽象出“三角形”的定义。
模型化思维
指将现实世界中的问题转化为数学问题（建立数学模型）,并通过求解数学模型来解决实际问题的思维。
- 例子：将人口增长问题抽象为微分方程模型；将交通流量问题抽象为图论模型。
化归思维
指将一个未解决的、复杂的问题，通过某种转化过程，归结为一个或若干个已经解决或更容易解决的问题的思维方式，这是“以退为进”的智慧。
- 例子：将求不规则图形的面积问题，化归为求若干个规则图形（如三角形、矩形）面积的和；将高次方程化归为低次方程来解。
分类与讨论思维
指根据数学对象的本质属性，将它们划分为不同种类，然后对每一类分别进行讨论的思维,这在处理含有参数或多种可能性的问题时至关重要。
- 例子：解含绝对值的不等式时，需要根据绝对值内表达式的正负进行分类讨论；讨论二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像时，需要根据 $a$ 的正负进行分类。
逆向思维
指从与常规思维相反的方向去思考问题的思维方式,这在解决某些难题时能出奇制胜。
- 例子：公式变形（已知结果求原因）；反证法；从结论出发,倒推需要什么条件。
数学思维是一个复杂的、多层次的系统，一个优秀的数学学习者或使用者,应当：
- 在层次上：从记忆再现出发，逐步提升到理解应用、分析推理,并最终追求综合创造。
- 在方向上：能够灵活运用逻辑、形象和直觉思维，让它们相互协作,共同解决问题。
- 在形式上：掌握抽象、模型化、化归、分类、逆向等多种思维工具,并能根据问题性质选择最合适的策略。
培养数学思维，绝不仅仅是多做几道题那么简单，而是一个全面提升认知能力、塑造理性精神的过程。
