因数与倍数思维导图
中心主题：因数与倍数
基础概念
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因数
- 定义：如果整数
a能被整数b（b ≠ 0）整除，b是a的因数。 - 整除、除尽、被除数、除数、商是整数。
- 核心特征：
- 成对出现：
b是a的因数，a ÷ b也是a的因数。 - 范围：一个数的因数是有限的。
- 最小：最小的因数是 1。
- 最大：最大的因数是它本身。
- 成对出现：
- 举例：
- 12 的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 12。
- 7 的因数有：1, 7。（质数）
- 定义：如果整数
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倍数
- 定义：如果整数
a能被整数b（b ≠ 0）整除，a是b的倍数。 a = b × k(k为非零整数)。- 核心特征：
- 无限性：一个数的倍数是无限的。
- 最小：最小的倍数是它本身。
- 没有最大：没有最大的倍数。
- 举例：
- 3 的倍数有：3, 6, 9, 12, 15, ...
- 5 的倍数有：5, 10, 15, 20, ...
- 定义：如果整数
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关系辨析
- 相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，必须说清是谁的因数（或倍数）。
- 位置关系：在
a = b × c中：b和c都是a的 因数。a是b和c的 倍数。
- 0 的特殊性：
- 0 是任何非零自然数的倍数。 (因为 0 = 5 × 0)
- 0 不是任何数的因数。(因为任何数除以0都无意义)
重要概念与方法
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求一个数的因数
- 方法：成对列举法（从1开始，一对一对地找）。
- 技巧：找到一对因数后，用被除数除以其中一个因数，得到另一个因数,可以加快速度。
- 举例：求 18 的因数。
- 1 和 18 (1 × 18 = 18)
- 2 和 9 (2 × 9 = 18)
- 3 和 6 (3 × 6 = 18)
- 下一个数是 4，18 ÷ 4 = 4.5（不是整数，停止）。
- 18 的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。
- 表示：通常按从小到大的顺序排列。
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求一个数的倍数
- 方法：用这个数依次乘以非零自然数 (1, 2, 3, ...)。
- 举例：求 4 的倍数。
- 4 × 1 = 4
- 4 × 2 = 8
- 4 × 3 = 12
- 4 的倍数有：4, 8, 12, 16, ...
- 表示：通常用省略号“...”表示其无限性。
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找公因数和最大公因数
- 公因数：几个数公有的因数。
- 举例：12 和 18 的公因数有 1, 2, 3, 6。
- 最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个。
- 简称：GCD (Greatest Common Divisor) 或 HCF (Highest Common Factor)。
- 举例：12 和 18 的最大公因数是 6。
- 求法：
- 列举法：分别列出各数的因数,找出公有的。
- 短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质为止,所有除数相乘。
- 质因数分解法：将各数分解质因数,取全部公有质因数的乘积。
- 公因数：几个数公有的因数。
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找公倍数和最小公倍数
- 公倍数：几个数公有的倍数。
- 举例：4 和 6 的公倍数有 12, 24, 36, ...
- 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个。
- 简称：LCM (Least Common Multiple)。
- 举例：4 和 6 的最小公倍数是 12。
- 求法：
- 列举法：依次列出各数的倍数,找出公有的。
- 短除法：用公有质因数和独有的质因数去除，直到商互质为止,所有除数和最后的商相乘。
- 质因数分解法：将各数分解质因数,取全部公有质因数和各自独有质因数的乘积。
- 公倍数：几个数公有的倍数。
特殊的数
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质数
- 定义：只有1和它本身两个因数的自然数。
- 因数个数只有2个。
- 特点：
- 最小的质数是 2 (也是唯一的偶质数)。
- 1 既不是质数,也不是合数。
- 举例：2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
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合数
- 定义：除了1和它本身,还有其他因数的自然数。
- 因数个数超过2个。
- 特点：
- 最小的合数是 4。
- 举例：4, 6, 8, 9, 10, 12, ...
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1 的特殊性
- 因数：只有1一个因数。
- 倍数：是所有自然数的倍数。
- 归类：既不是质数,也不是合数。
核心性质与定理
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奇数与偶数
- 偶数：是2的倍数（个位是0, 2, 4, 6, 8）。 所有偶数都有因数2。
- 奇数：不是2的倍数（个位是1, 3, 5, 7, 9）。
- 运算性质：
- 奇数 ± 奇数 = 偶数
- 偶数 ± 偶数 = 偶数
- 奇数 ± 偶数 = 奇数
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2, 3, 5 的倍数特征
- 2的倍数：个位是0, 2, 4, 6, 8。
- 5的倍数：个位是0或5。
- 3的倍数：各位数字之和是3的倍数。
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互质数
- 定义：两个数的公因数只有1。
- 最大公因数是1。
- 举例：
- 8 和 15 (因数分别为1,2,4,8 和 1,3,5,15，公因数只有1)。
- 1 和 任何自然数都是互质数。
- 两个不同的质数一定是互质数。
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基本定理
- 质因数分解定理（唯一分解定理）：任何一个大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以唯一地分解为质因数的乘积。
- 举例：60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5。
- 质因数分解定理（唯一分解定理）：任何一个大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以唯一地分解为质因数的乘积。
实际应用
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分数化简
- 方法：分子和分母同时除以它们的最大公因数。
- 举例：化简
18/24，18和24的最大公因数是6，18÷6 / 24÷6 = 3/4。
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计算通分
- 方法：找到几个分母的最小公倍数,作为公分母。
- 举例：计算
1/4 + 1/6，4和6的最小公倍数是12，3/12 + 2/12 = 5/12。
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分配物品
- 场景：将物品平均分组，求每组最多可以分多少个（求最大公因数）。
- 举例：有48个苹果和36个梨，要平均分给尽可能多的小朋友，每人分到的苹果和梨数量相同，求最多可以分给多少个小朋友？(求48和36的最大公因数)
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周期问题
- 场景：几个事物有不同周期，求它们再次相遇的时间（求最小公倍数）。
- 举例：甲每3天去一次图书馆，乙每4天去一次，他们今天在图书馆相遇，下一次是几天后？(求3和4的最小公倍数)
易错点与注意事项
- 概念混淆：因数和倍数不能孤立地说，必须指明“谁的因数”或“谁的倍数”。
- 范围不清：因数是有限的,倍数是无限的。
- 忽略1和本身：在找因数时,容易漏掉1和它本身。
- 0的特殊性：0是任何非零自然数的倍数,但0不是任何数的因数。
- 1的特殊性：1既不是质数也不是合数。
- 互质与质数：互质描述的是两个数之间的关系，而质数描述的是一个数本身的性质，两个合数也可能互质（如8和15）。
