微积分全景思维导图
中心主题：微积分
微积分是研究“变化”的数学，它包含两大核心支柱：微分（研究瞬时变化率）和积分（研究累积效应），两者通过微积分基本定理紧密相连。
第一部分：一元函数微积分
极限与连续性
- 核心思想： 描述函数在某一点附近的行为，是微积分的基石。
- 1 极限
- 定义： 当自变量 x 趋近于 a 时，函数值 f(x) 趋近于 L。
- 类型：
- 左极限 vs 右极限
- x → ∞ 时的极限
- 分段函数的极限
- 计算方法：
- 代入法（直接求值）
- 因式分解/约分
- 有理化分子/分母
- 洛必达法则
- 2 连续性
- 定义： 函数 f(x) 在点 a 连续，需满足三个条件：
- f(a) 存在。
- lim(x→a) f(x) 存在。
- lim(x→a) f(x) = f(a)。
- 间断点类型：
- 可去间断点
- 跳跃间断点
- 无穷间断点
- 振荡间断点
- 定义： 函数 f(x) 在点 a 连续，需满足三个条件：
导数与微分
- 核心思想： 研究函数的瞬时变化率，即“切线斜率”。
- 1 导数定义
- 几何意义： 切线的斜率。
- 物理意义： 瞬时速度、瞬时加速度。
- 定义式： f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx
- 2 求导法则
- 基本公式：
- (x^n)' = n*x^(n-1)
- (e^x)' = e^x
- (a^x)' = a^x * ln(a)
- (ln|x|)' = 1/x
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- 运算法则：
- 和/差法则：(u ± v)' = u' ± v'
- 积法则：(uv)' = u'v + uv'
- 商法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v²
- 链式法则（复合函数）：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
- 基本公式：
- 3 高阶导数
- 定义：导数的导数 (f''(x), f'''(x), ...)。
- 物理意义：加速度是速度的导数，是位移的二阶导数。
- 4 微分
- 定义：dy = f'(x)dx (函数增量的线性主部)。
- 应用：近似计算 Δy ≈ dy。
导数的应用
- 1 函数性态分析
- 单调性： f'(x) > 0 增，f'(x) < 0 减。
- 极值：
- 必要条件：f'(x₀) = 0 或 f'(x₀) 不存在。
- 充分条件（第一/第二导数测试）。
- 凹凸性： f''(x) > 0 凹（凸），f''(x) < 0 凸（凹）。
- 拐点： 凹凸性改变的点。
- 2 相关变化率
核心思想：关联两个或多个变量的变化率，建立方程求解。
- 3 优化问题
- 目标：在给定条件下，求函数的最大值或最小值。
- 步骤：建立模型 -> 求导 -> 找临界点 -> 分析判断。
- 4 泰勒公式与麦克劳林公式
- 思想： 用多项式函数无限逼近一个复杂函数。
- 麦克劳林公式： f(x) ≈ f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!
积分学
- 核心思想： 研究函数的累积效应，即“曲边梯形的面积”。
- 1 不定积分
- 定义： 函数 f(x) 的所有原函数的集合。∫f(x)dx = F(x) + C。
- 与导数的关系： 积分是导数的逆运算。
- 计算方法：
- 基本积分公式（导数公式的逆）
- 第一类换元法（凑微分法）
- 第二类换元法（三角代换、根式代换等）
- 分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du
- 2 定积分
- 定义： lim(Δx→0) Σ[f(xᵢ)Δx] (黎曼和的极限)。
- 几何意义： 曲边梯形的“有向面积”。
- 性质：
- 积分区间可加性
- 比较性质
- 3 微积分基本定理
- 第一基本定理： F(x) = ∫[a, x] f(t)dt，F'(x) = f(x)。（连接了微分与积分）
- 第二基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）： ∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。（提供了计算定积分的强大工具）
- 4 定积分的应用
- 几何应用：
- 平面图形的面积
- 旋转体的体积（圆盘法、圆柱壳法）
- 平面曲线的弧长
- 物理应用：
- 变力做功
- 液体压力
- 质心与形心
- 几何应用：
第二部分：多元函数微积分
多元函数微分学
- 1 空间解析几何与向量
- 向量运算（点积、叉积）
- 空间平面与直线方程
- 2 多元函数
- 定义、极限与连续性
- 偏导数：∂f/∂x （对其中一个变量求导，其他视为常数）
- 全微分：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
- 方向导数与梯度：∇f (函数增长最快的方向)
- 3 多元函数求导法则
- 复合函数求导法则（链式法则的推广）
- 隐函数求导
- 4 多元函数的极值
- 无条件极值：
- 必要条件：梯度 ∇f = 0 (即所有偏导数为零)。
- 充分条件：利用二阶偏导数判别（黑塞矩阵）。
- 条件极值（拉格朗日乘数法）： 在约束条件下求极值。
- 无条件极值：
多元函数积分学
- 1 重积分
- 二重积分： ∫∫_D f(x,y) dA
- 几何意义：曲顶柱体的体积。
- 计算方法：化为累次积分（直角坐标、极坐标）。
- 三重积分： ∫∫∫_E f(x,y,z) dV
- 几何意义：物体的质量（密度为f时）。
- 计算方法：化为累次积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）。
- 二重积分： ∫∫_D f(x,y) dA
- 2 曲线积分与曲面积分
- 第一类（对弧长/面积）： 与路径/曲面形状有关，与方向无关。
- 第二类（对坐标）： 与方向有关，物理意义是功和通量。
- 3 重要定理
- 格林公式： 连接了平面上的二重积分与沿其边界的曲线积分。
- 高斯公式（散度定理）： 连接了空间中的三重积分与沿其边界的曲面积分。
- 斯托克斯公式： 连接了空间中的曲面积分与沿其边界的曲线积分。
第三部分：无穷级数
常数项级数
- 定义： u₁ + u₂ + u₃ + ... = Σuₙ
- 收敛与发散： 部分和数列 {Sₙ} 是否有极限。
- 审敛法：
- 正项级数： 比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法。
- 交错级数： 莱布尼茨审敛法。
- 绝对收敛与条件收敛。
函数项级数
- 幂级数： Σaₙxⁿ
- 收敛半径与收敛区间。
- 和函数的性质： 在收敛区间内连续、可积、可导。
- 泰勒级数： 将函数展开为幂级数。
- 常见函数的泰勒展开式 (e^x, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^α 等)。
第四部分：微分方程
一阶微分方程
- 可分离变量的方程： dy/dx = g(x)h(y)
- 齐次方程
- 一阶线性微分方程： dy/dx + P(x)y = Q(x)
高阶微分方程
- 可降阶的方程
- 二阶常系数线性微分方程：
- y'' + py' + qy = 0 (齐次)
- y'' + py' + qy = f(x) (非齐次)
- 解的结构： y = y_h (通解) + y_p (特解)。
核心思想与联系
- 极限是基石： 导数、积分、级数的定义都建立在极限之上。
- 微分与积分是对立的统一：
- 微分：将整体分解为局部，研究“变化率”。
- 积分将局部累积为整体，研究“累积量”。
- 微积分基本定理揭示了它们之间的深刻联系：求导（微分）与求积分是互逆运算。
- 从一元到多元的推广：
- 从单变量到多变量,导数推广为偏导数和梯度，积分推广为重积分和线/面积分。
- 牛顿-莱布尼茨公式在更高维度上推广为格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，它们统一地描述了“内部累积”与“边界行为”的关系。
这份思维导图希望能帮助你清晰地看到微积分的全貌和各个知识点之间的逻辑关系,学习时，可以沿着这个框架，逐一深入每个细节。
