好的！这里为您精心准备了一道经典的高中数学思维游戏题，它融合了数列、逻辑推理和数学建模,非常考验学生的思维深度和转化能力。
数字塔的秘密
观察下面这个由数字构成的“塔”,它遵循着某种神秘的规律。
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15问题：
- 第一部分（基础）： 第5行的最后一个数字是15,那么第10行的最后一个数字是多少？
- 第二部分（进阶）： 数字 2025 出现在这个塔的第几行,以及该行的第几个位置？
- 第三部分（挑战）： 这个塔的第n行共有多少个数字？所有这些数字的和是多少？
解题思路与答案
这道题的核心是发现行号与行内数字数量之间的关系。
第一步：观察与建模
我们观察每一行的数字个数：
- 第1行有 1 个数字
- 第2行有 2 个数字
- 第3行有 3 个数字
- 第n行有 n 个数字
这是一个非常关键的发现,我们来解决每个问题。
第一部分：求第10行的最后一个数字
思路： 要找到第10行的最后一个数字，我们可以先计算出在第10行之前的所有行共有多少个数字，再加1，就是第10行第一个数字的序号,而最后一个数字的序号就是前面所有数字的总和。
计算过程：
- 第10行之前的总行数是 9 行。
- 这9行一共包含的数字个数是一个等差数列的和： S = 1 + 2 + 3 + ... + 9
- 等差数列求和公式为：S = n(a₁ + aₙ) / 2
- 这里 n = 9 (项数)
- a₁ = 1 (首项)
- aₙ = 9 (末项)
- S = 9 (1 + 9) / 2 = 9 10 / 2 = 45
- 第10行之前的所有数字共有45个。
- 第10行的第一个数字就是第46个数字（45 + 1）。
- 第10行有10个数字，所以它的最后一个数字是第 (46 + 10 - 1) = 55 个数字。
答案： 第10行的最后一个数字是 55。
第二部分：定位数字 2025 的位置
思路： 我们需要找到一个最大的整数k，使得前k行所包含的数字总数小于或等于2025，这样，数字2025就必定在第(k+1)行。
计算过程：
- 前k行所包含的数字总数也是一个等差数列的和： Sₖ = 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2
- 我们需要解不等式：Sₖ < 2025 即：k(k + 1) / 2 < 2025 k² + k - 4036 < 0
- 这是一个关于k的一元二次不等式，我们先解方程 k² + k - 4036 = 0。 使用求根公式： k = [-1 ± √(1² - 4 1 (-4036))] / (2 * 1) k = [-1 ± √(1 + 16144)] / 2 k = [-1 ± √16145] / 2
- 估算√16145：
- 127² = 16129
- 128² = 16384
- 因为 16129 < 16145 < 16384，127 < √16145 < 128。
- 我们取 k = [-1 + 127] / 2 = 126 / 2 = 63。
- 我们来验证k=63和k=64的情况：
- 前63行的数字总数：S₆₃ = 63 (63 + 1) / 2 = 63 64 / 2 = 2025。
- 前64行的数字总数：S₆₄ = 64 (64 + 1) / 2 = 64 65 / 2 = 2080。
- 分析结果：
- 数字2025是第63行的最后一个数字。
- 数字2025是第64行的第一个数字。
- 数字2025是第64行的第二个数字。
答案： 数字2025出现在这个塔的 第64行，第2个位置。
第三部分：求第n行的数字个数与和
思路： 这部分是对前面规律的总结和推广。
计算过程：
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第n行的数字个数： 根据我们最初的观察，这是一个显而易见的规律。 答案：第n行共有 n 个数字。
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第n行所有数字的和：
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第一步：找到第n行的第一个数字。 前(n-1)行的数字总数为 Sₙ₋₁ = (n-1) ((n-1) + 1) / 2 = (n-1) n / 2。 第n行的第一个数字的值就是 Sₙ₋₁ + 1 = (n-1)n/2 + 1。
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第二步：确定第n行数字的构成。 第n行是一个连续的整数序列，共有n个数字,这是一个等差数列。
- 首项 a₁ = (n-1)n/2 + 1
- 末项 aₙ = (n-1)n/2 + 1 + (n - 1) = (n-1)n/2 + n = n(n-1 + 2)/2 = n(n+1)/2
- 项数 n = n
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第三步：计算等差数列的和。 等差数列求和公式：和 = (项数) (首项 + 末项) / 2 和 = n [ ((n-1)n/2 + 1) + (n(n+1)/2) ] / 2 化简括号内的部分： = n [ (n² - n + 2)/2 + (n² + n)/2 ] / 2 = n [ (n² - n + 2 + n² + n) / 2 ] / 2 = n [ (2n² + 2) / 2 ] / 2 = n (n² + 1) / 2 = n(n² + 1)/2
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答案：
- 第n行共有 n 个数字。
- 第n行所有数字的和为 n(n² + 1)/2。
总结与反思
这道题的“思维”价值在于：
- 从特殊到一般的归纳能力： 观察前几行，发现“第n行有n个数字”这一核心规律。
- 数学建模能力： 将“数字塔”的问题，转化为“等差数列求和”的数学模型。
- 逻辑推理与逆向思维： 在第二问中，不是直接去找2025,而是通过它之前的数字总数来确定它所在的位置。
- 代数运算与化简能力： 在第三问中，需要熟练运用代数公式进行推导和化简,最终得到一个简洁优美的通项公式。
希望这道题能给您带来思维的乐趣！
