初二数学《一次函数》思维导图
中心主题：一次函数
核心概念：一次函数是什么？
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定义
（图片来源网络，侵删）- 正比例函数
- 解析式：
y = kx(k是常数, k ≠ 0) - 核心特征：自变量x的指数是1,且常数项为0。
- 关系：是特殊的一次函数。
- 解析式：
- 一次函数
- 解析式：
y = kx + b(k, b是常数, k ≠ 0) - 核心特征：自变量x的指数是1,且k不能为0。
- 关系：当b=0时，它就变成了正比例函数
y = kx。
- 解析式：
- 易错点
k = 0时，y = b(常数函数)，不是一次函数。x的指数不为1时（如y = x² + 1），不是一次函数。
- 正比例函数
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各系数 (k, b) 的几何意义 (非常重要！)
- k (斜率)
- 定义：直线
y = kx + b的倾斜程度。 - 计算：
k = tanα(α是直线与x轴正方向的夹角)。 - 计算：
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)(已知直线上两点(x₁, y₁)和(x₂, y₂))。 - 作用：
- 决定直线的方向：
k > 0：直线从左到右上升，y随x的增大而增大。k < 0：直线从左到右下降，y随x的增大而减小。
- 决定直线的方向：
- 定义：直线
- b (截距)
- 定义：直线
y = kx + b与y轴的交点的纵坐标。 - 作用：
- 决定直线与y轴的交点位置，交点坐标为 (0, b)。
- 在
y = kx中，b=0，所以直线必过原点 (0, 0)。
- 定义：直线
- k (斜率)
图像与性质：一次函数长什么样？有什么特点？
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图像
- 形状：一条直线。
- 画法 (两点法)
- 步骤：
- 令
x=0，求出y=b，得到点 A(0, b)。 - 令
y=0，求出x=-b/k，得到点 B(-b/k, 0)。 - 连接点A和点B,画出直线。
- 令
- 技巧：通常选择与坐标轴的交点来画图,最方便。
- 步骤：
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性质
- 增减性
k > 0：y随x的增大而增大。k < 0：y随x的增大而减小。
- 位置关系
- 与y轴的交点：(0, b)
- 与x轴的交点：(-b/k, 0)
- 象限分布
- k > 0, b > 0：直线经过一、二、三象限。
- k > 0, b < 0：直线经过一、三、四象限。
- k < 0, b > 0：直线经过一、二、四象限。
- k < 0, b < 0：直线经过二、三、四象限。
- 平行与垂直
- 平行：两条直线
y = k₁x + b₁和y = k₂x + b₂，当k₁ = k₂且b₁ ≠ b₂时，两直线平行。 - 垂直：两条直线
y = k₁x + b₁和y = k₂x + b₂，当k₁ * k₂ = -1时，两直线垂直。
- 平行：两条直线
- 增减性
待定系数法：如何求函数解析式？
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原理
（图片来源网络，侵删）利用已知条件（如点的坐标、斜率等），建立关于k和b的方程组,解出k和b的值。
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步骤
- 步骤1：设所求的一次函数解析式为
y = kx + b。 - 步骤2：将已知点的坐标
(x, y)代入解析式,得到关于k和b的方程。 - 步骤3：根据条件,列出方程组。
- 步骤4：解方程组,求出k和b的值。
- 步骤5：将k和b的值代回
y = kx + b,得到最终的解析式。
- 步骤1：设所求的一次函数解析式为
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常见条件
- 已知两点：直接代入,列二元一次方程组。
- 已知一点和斜率：用点斜式
y - y₁ = k(x - x₁)。 - 已知与y轴的交点和斜率：直接得到b和k。
- 图像经过原点：说明b=0，解析式为
y = kx。
实际应用：一次函数能用来做什么？
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解析法表示实际问题
（图片来源网络，侵删）- 步骤：
- 设：设出变量（通常自变量为x，函数值为y）。
- 找：找出问题中的等量关系。
- 列：根据等量关系列出函数关系式
y = kx + b。 - 写：写出自变量x的取值范围。
- 步骤：
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解决应用题
- 行程问题：路程、速度、时间的关系。
s = vt + s₀(s是路程，v是速度，t是时间，s₀是初始路程)。
- 利润问题：总利润、单件利润、销量的关系。
总利润 = (售价 - 进价) × 销量。
- 水电费问题：费用与用量的关系。
- 分段计费，
y = ax + b(a是单价，b是固定费用)。
- 分段计费，
- 几何问题：求图形的面积、周长等。
- 行程问题：路程、速度、时间的关系。
重要考点与综合应用
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求交点坐标
- 两直线交点：解方程组
{ y = k₁x + b₁ ; y = k₂x + b₂ }。 - 直线与x轴交点：令
y=0，求x。 - 直线与y轴交点：令
x=0，求y。
- 两直线交点：解方程组
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用函数观点看方程（组）与不等式
- 一元一次方程
kx + b = 0- 几何意义：求直线
y = kx + b与x轴的交点的横坐标。
- 几何意义：求直线
- 二元一次方程组
- 几何意义：求两条直线
y = k₁x + b₁和y = k₂x + b₂的交点坐标。
- 几何意义：求两条直线
- 一元一次不等式
kx + b > 0(或< 0)- 几何意义：求直线
y = kx + b在x轴上方（或下方）的点的横坐标x的取值范围。
- 几何意义：求直线
- 一元一次方程
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函数与几何综合
结合动点问题，利用函数关系式表示线段长度、面积等,并求其最值或特定状态。
