加减乘除思维导图如何系统梳理运算逻辑？不同学段学生如何借助导图突破计算难点？-益智教育网

加减乘除思维导图

中心主题：加减乘除

（图片来源网络，侵删）

核心概念
- 定义: 将两个或多个数合并成一个数的运算。
- 符号: (加号)
- 组成部分:
  - 加数: 相加的数。
  - 和: 加法运算的结果。
- 示例: 3 + 5 = 8 (3和5是加数,8是和)
运算定律
- 加法交换律: 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
  - 公式: a + b = b + a
  - 示例: 2 + 4 = 4 + 2
- 加法结合律: 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。
  - 公式: (a + b) + c = a + (b + c)
  - 示例: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
特殊加法
- 与0相加: 任何数与0相加，都等于它本身。
  - 公式: a + 0 = a
- 与1相加: 任何数与1相加，都等于它的后继数。
  - 公式: a + 1 = a+1
应用场景
（图片来源网络，侵删）
- 求总数、总和。
- 数量增加、合并。
- 计算距离、时间等的累加。

核心概念
- 定义: 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。（加法的逆运算）
- 符号: (减号)
- 组成部分:
  - 被减数: 被减去的数。
  - 减数: 要减去的数。
  - 差: 减法运算的结果。
- 示例: 8 - 5 = 3 (8是被减数，5是减数,3是差)
与加法的关系
- 互为逆运算: a - b = c 等价于 c + b = a。
- 验算方法: 用差加上减数,看是否等于被减数。
特殊减法
- 减去0: 任何数减去0，都等于它本身。
  - 公式: a - 0 = a
- 相同数相减: 任何数减去它本身，都等于0。
  - 公式: a - a = 0
- 减去1: 任何数减去1，都等于它的前驱数。
  - 公式: a - 1 = a-1
应用场景
- 求剩余、差额。
- 数量减少、比较。
- 计算变化、亏损。

核心概念
- 定义: 求几个相同加数和的简便运算。
- 符号: (乘号)
- 组成部分:
  - 因数: 相乘的数。
  - 积: 乘法运算的结果。
- 示例: 3 × 4 = 12 (表示4个3相加，3和4都是因数,12是积)
运算定律
- 乘法交换律: 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
  - 公式: a × b = b × a
  - 示例: 2 × 5 = 5 × 2
- 乘法结合律: 三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。
  - 公式: (a × b) × c = a × (b × c)
  - 示例: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)
- 乘法分配律: 两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。
  - 公式: (a + b) × c = a × c + b × c
  - 示例: (2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4
特殊乘法
- 与0相乘: 任何数与0相乘，都等于0。
  - 公式: a × 0 = 0
- 与1相乘: 任何数与1相乘，都等于它本身。
  - 公式: a × 1 = a
- 平方: 一个数乘以它本身。
  - 示例: 3 × 3 = 3² = 9
- 立方: 一个数乘以它自己两次。
  - 示例: 2 × 2 × 2 = 2³ = 8
应用场景
- 求几个相同数的和（倍数问题）。
- 计算面积、体积。
- 计算总价格、工作效率等。

核心概念
- 定义: 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。（乘法的逆运算）
- 符号: (除号), (斜杠)
- 组成部分:
  - 被除数: 被分的数。
  - 除数: 用来分的数。
  - 商: 除法运算的结果。
  - 余数: 整除后剩下的部分。
- 示例: 12 ÷ 4 = 3 (12是被除数，4是除数,3是商)
与乘法的关系
- 互为逆运算: a ÷ b = c (b≠0) 等价于 c × b = a。
- 验算方法: 用商乘以除数，看是否等于被除数。（有余数时：商×除数+余数=被除数）
特殊除法
- 除以1: 任何数（0除外）除以1，都等于它本身。
  - 公式: a ÷ 1 = a
- 相同数相除: 任何非零数除以它本身，都等于1。
  - 公式: a ÷ a = 1 (a≠0)
- 0除以任何数: 0除以任何非零数，都等于0。
  - 公式: 0 ÷ a = 0 (a≠0)
- 0不能作除数: 数学中规定，0不能作为除数,因为它没有意义。
应用场景
- 平均分、包含除。
- 求一个数是另一个数的几倍。
- 计算单价、速度等。

运算顺序
- 同级运算: 从左到右依次计算。
  - 示例: 3 + 5 - 2, 10 ÷ 2 × 4
- 不同级运算: 先算乘除，后算加减。
  - 示例: 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14
- 有括号: 先算小括号里的，再算中括号 [] 里的，最后算括号外的。
  - 示例: (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
核心联系
- 互为逆运算:
  - 加法 ↔ 减法
  - 乘法 ↔ 除法
- 乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。
实际应用
- 解决问题: 将生活中的问题抽象成数学算式。
- 估算: 对结果进行大致的推测。
- 验算: 通过逆运算或不同方法检验计算结果的正确性。