每一道题都包含 题目、解题思路 和 答案,希望能帮助同学们更好地理解。
第一部分：应用题与逻辑推理
1：鸡兔同笼
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚,问笼中各有几只鸡和兔？
【解题思路】 这道题是经典的“假设法”问题，我们可以先假设笼子里全是同一种动物,然后根据脚的数量差来找出另一种动物的数量。
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假设全是鸡：
（图片来源网络，侵删）- 如果35只全是鸡，那么应该有脚：35 × 2 = 70 (只)。
- 实际上有94只脚，比假设的多了：94 - 70 = 24 (只)。
- 为什么会多出来24只脚呢？因为我们把一些兔子当成了鸡，每把一只兔子当成鸡，脚的数量就会少算 4 - 2 = 2 (只)。
- 兔子的数量就是：24 ÷ 2 = 12 (只)。
- 那么鸡的数量就是：35 - 12 = 23 (只)。
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检验：
- 鸡的脚：23 × 2 = 46 (只)
- 兔的脚：12 × 4 = 48 (只)
- 总脚数：46 + 48 = 94 (只)，和题目一致,答案正确。
【答案】 笼中有23只鸡,12只兔。
2：植树问题
在一条全长1200米的小路一旁植树，每隔4米栽一棵树（两端都栽）,一共需要栽多少棵树？
【解题思路】 这是“植树问题”中的“两端都栽”情况，关键要理解“间隔数”和“棵数”的关系。
- 间隔数 = 总长 ÷ 间隔距离
- 棵数 = 间隔数 + 1 (因为两端都栽,会多一棵)
- 计算间隔数：
1200 ÷ 4 = 300 (个)
- 计算棵数：
300 + 1 = 301 (棵)
【答案】 一共需要栽301棵树。
3：年龄问题
爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年前,爸爸的年龄是儿子的5倍？
【解题思路】 年龄问题的核心特点是：两个人的年龄差是永远不变的。
- 找出年龄差：
爸爸比儿子大：43 - 11 = 32 (岁)。
- “几年前”的年龄关系：
- 设“几年前”为 x 年，那时，爸爸的年龄是 (43 - x) 岁，儿子的年龄是 (11 - x) 岁。
- 根据题意，那时的爸爸年龄是儿子的5倍，可以列出等式：
43 - x = 5 × (11 - x)
- 解方程：
- 43 - x = 55 - 5x
- 5x - x = 55 - 43
- 4x = 12
- x = 3
【答案】 3年前,爸爸的年龄是儿子的5倍。
第二部分：数字与图形规律
4：找规律填数
(1) 1, 4, 9, 16, 25, ( ), 49, ( ) (2) 1, 3, 7, 15, 31, ( ), 127
【解题思路】 (1) 观察这列数：1, 4, 9, 16, 25...
- 1 = 1 × 1
- 4 = 2 × 2
- 9 = 3 × 3
- 16 = 4 × 4
- 25 = 5 × 5
- 规律：第n个数是n的平方。
- 第6个数是 6 × 6 = 36
- 第8个数是 8 × 8 = 64
(2) 观察这列数：1, 3, 7, 15, 31...
- 从第二个数开始，每个数都是前一个数的2倍再加1。
- 3 = 1 × 2 + 1
- 7 = 3 × 2 + 1
- 15 = 7 × 2 + 1
- 31 = 15 × 2 + 1
- 规律：后一个数 = 前一个数 × 2 + 1
- 括号里的数是：31 × 2 + 1 = 63
【答案】 (1) 36, 64 (2) 63
5：图形找规律
观察下面图形的排列规律,并画出缺少的那个图形。
【解题思路】 观察图形的排列顺序：△, □, ○, △, □, ○, △, □, ... 可以看出，图形是按照“三角形、正方形、圆形”三个为一组，不断重复的。 目前已经重复了两组半（△ □ ○ △ □ ○ △ □）,下一个图形应该是新的一组的第一个图形。
【答案】 缺少的图形是 三角形 (△)。
第三部分：趣味与策略题
6：过河问题
一个农夫带着一只狼、一只羊和一棵白菜来到河边，河边只有一条小船，船每次最多只能载农夫和一样东西（狼、羊或白菜）,如果农夫不在场：
- 狼会吃掉羊。
- 羊会吃掉白菜。 农夫该如何才能安全地将所有东西都带过河？
【解题思路】 这是一个经典的逻辑推理题，关键在于农夫的“往返”过程，利用小船的“空位”来解决问题。
- 第一步：农夫先带羊过河。
- 此岸：狼, 白菜
- 彼岸：羊, 农夫
- 第二步：农夫自己独自返回。
- 此岸：狼, 白菜, 农夫
- 彼岸：羊
- 第三步：农夫带狼过河。
- 此岸：白菜
- 彼岸：羊, 狼, 农夫
- 第四步：农夫带羊返回（这是最关键的一步！）
- 此岸：羊, 白菜
- 彼岸：狼
- 第五步：农夫带白菜过河。
- 此岸：羊
- 彼岸：狼, 白菜, 农夫
- 第六步：农夫独自返回。
- 此岸：羊, 农夫
- 彼岸：狼, 白菜
- 第七步：农夫带羊过河。
- 此岸：（空）
- 彼岸：狼, 羊, 白菜, 农夫
【答案】 按照以上七个步骤，农夫就能安全地将狼、羊和白菜全部带到河对岸。
