整式运算 思维导图
中心主题：整式的运算
核心概念
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1 代数式
- 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。
- 分类：
- 有理式：由整式和分式组成的代数式。
- 整式：除式中不含字母的有理式。
- 分式：除式中含有字母的有理式。
- 无理式：含有根号且根号下含有字母的代数式。
- 有理式：由整式和分式组成的代数式。
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2 整式
- 定义：单项式和多项式的统称。
- 单项式：
- 定义：由数与字母的积组成的代数式（单独一个数或一个字母也是单项式）。
- 系数：单项式中的数字因数（包括符号）。
- 次数：所有字母的指数之和。
- 多项式：
- 定义：几个单项式的和。
- 项：多项式中的每个单项式。
- 常数项：不含字母的项。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数。
- 升幂/降幂排列：按某个字母的指数从低到高或从高到低排列。
整式的加减法
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1 同类项
- 定义：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项。
- 要点：常数项是同类项。
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2 合并同类项
- 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
- 步骤：① 找出同类项；② 利用交换律和结合律将同类项移到一起；③ 系数相加。
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3 去括号与添括号
- 去括号法则：
- 括号前是“+”号：去掉括号和“+”，括号内各项符号不变。
- 括号前是“-”号：去掉括号和“-”，括号内各项符号都改变。
- 添括号法则：
- 括号前是“+”号：括到括号里的各项符号不变。
- 括号前是“-”号：括到括号里的各项符号都改变。
- 去括号法则：
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4 整式加减的步骤
- 去括号：根据法则去掉括号。
- 合并同类项：找出并合并所有同类项。
- 结果化简：按某个字母进行降幂排列。
整式的乘法
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1 幂的运算性质 (核心基础)
- 同底数幂相乘：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (底数不变,指数相加)
- 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (底数不变,指数相乘)
- 积的乘方：$(ab)^n = a^n \cdot b^n$ (每个因式分别乘方)
- 同底数幂相除：$a^m \div a^n = a^{m-n}$ (a ≠ 0, 底数不变,指数相减)
- 零指数幂：$a^0 = 1$ (a ≠ 0)
- 负整数指数幂：$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$ (a ≠ 0)
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2 单项式乘法
- 法则：系数相乘，同底数幂相乘,其余字母连同它的指数作为积的一部分。
- 示例：$(2xy^2) \cdot (-3x^2y) = 2 \cdot (-3) \cdot x^{1+2} \cdot y^{2+1} = -6x^3y^3$
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3 单项式与多项式相乘
- 法则：单项式乘以多项式的每一项,再把所得的积相加。
- 公式：$m(a+b+c) = ma + mb + mc$ (分配律)
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4 多项式与多项式相乘
- 法则：一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
- 公式：$(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn$
- 常用公式 (乘法公式)：
- 平方差公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
- 完全平方公式：
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- 立方和/差公式：
- $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$
- $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$
整式的除法
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1 单项式除法
- 法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里出现的字母,连同它的指数作为商的一个因式。
- 示例：$(8x^4y^3z^2) \div (2x^2y) = 4x^{4-2}y^{3-1}z^2 = 4x^2y^2z^2$
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2 多项式除以单项式
- 法则：把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
- 公式：$(a+b+c) \div m = a \div m + b \div m + c \div m$
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3 多项式除以多项式 (竖式除法)
- 步骤：
- 排列：将被除式和除式按某个字母的降幂排列,缺项补零。
- 相除：用除式的第一项去除被除式的第一项,得到商的第一项。
- 相乘：用商的第一项去乘除式,得到积。
- 相减：用被除式减去这个积,得到余式。
- 重复：将余式当作新的被除式，重复以上步骤,直到余式的次数低于除式的次数。
- 关系：被除式 = 除式 × 商式 + 余式
- 步骤：
化简求值
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1 化简
- 定义：通过整式的运算（加减乘除）,将一个复杂的整式变为一个相对简单的整式。
- 关键：熟练运用运算法则和公式，先乘方，再乘除，后加减,有括号先算括号里的。
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2 求值
- 方法一 (直接代入法)：
- 步骤：将字母的值直接代入化简后的式子进行计算。
- 优点：简单直接。
- 方法二 (整体代入法)：
- 步骤：当已知一个代数式的值时,将其看作一个整体代入求值。
- 优点：简化计算,尤其适用于复杂的代数式。
- 示例：已知 $x+y=5$, 求 $2(x+y)^2 - 3(x+y)$ 的值。
- 解：将 $x+y$ 看作一个整体 $A$。
- 原式 $= 2A^2 - 3A = 2(5)^2 - 3(5) = 50 - 15 = 35$。
- 方法一 (直接代入法)：
实际应用
- 1 列代数式：用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系。
- 2 求代数式的值：根据给定的条件，求出代数式的具体数值,解决实际问题。
- 3 公式变形：利用整式运算，将一个已知公式变换为另一种形式,以解决不同的问题。
- 4 解决几何问题：计算图形的周长、面积、体积等。
核心思想与方法
- 数形结合：利用数轴理解相反数、绝对值；利用图形面积理解乘法公式（如平方差公式）。
- 转化思想：将复杂问题（如多项式乘除）转化为简单问题（如单项式运算）；将未知问题转化为已知问题。
- 分类讨论思想：在去绝对值、讨论字母取值范围等问题时,可能需要分类讨论。
- 整体思想：在化简求值中，将一个复杂的代数式看作一个整体进行运算,简化过程。
整式运算是代数学的基石，学习时，首先要牢固掌握单项式和多项式的定义，然后以幂的运算为基础，循序渐进地学习加减、乘、除三大运算。乘法公式是乘法中的重点和难点，需要通过大量练习来熟练掌握，通过化简求值和实际应用来检验和巩固所学知识。
