整数 思维导图
中心主题：整数
基本概念
- 定义: 在小学数学中，正数、负数和0统称为整数。
- 产生背景:
- 生活需要: 表示具有相反意义的量（如：零上温度/零下温度，收入/支出，上升/下降）。
- 数学需要: 为了使减法运算总能进行（5 - 8 = -3）。
- 核心元素:
- 正整数: 大于0的整数 (如: 1, 2, 3, ...)。
- 0: 既不是正整数，也不是负整数,是正负数的分界点。
- 负整数: 小于0的整数 (如: -1, -2, -3, ...)。
整数的分类
- 按性质分:
- 正整数 (自然数)
- 零
- 负整数
- 按符号分:
- 非负整数: 正整数和0 (即 ≥ 0 的整数)。
- 非正整数: 负整数和0 (即 ≤ 0 的整数)。
- 与自然数的关系:
- 自然数: 通常指正整数 (1, 2, 3, ...)。
- 扩展自然数: 也包括0 (0, 1, 2, 3, ...)。
- 关系: 整数集 = 自然数集 + 负整数集 + {0}。
整数与数轴
- 数轴定义: 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 三要素:
- 原点: 表示数0的点。
- 正方向: 通常规定向右为正方向。
- 单位长度: 任意选取的一条线段长度作为单位长度。
- 整数在数轴上的表示:
- 每个整数 都能在数轴上找到 唯一 的点。
- 每个点 通常只表示 一个 整数。
- 数轴上的特性:
- 左边的数 < 右边的数。
- 绝对值: 数轴上表示一个数的点到原点的距离。
|a|≥ 0。|正数|= 它本身。|0|= 0。|负数|= 它的相反数。
- 相反数: 只有符号不同的两个数。
- 在数轴上，它们位于原点两侧,且到原点的距离相等。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
整数的运算
- 加法:
- 同号相加: 取相同的符号，并把绝对值相加。
(+a) + (+b) = +(a+b)(-a) + (-b) = -(a+b)
- 异号相加: 取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(+a) + (-b)(若a > b) =+(a-b)(+a) + (-b)(若a < b) =-(b-a)
- 与0相加:
a + 0 = a。
- 同号相加: 取相同的符号，并把绝对值相加。
- 减法:
- 法则: 减去一个数,等于加上这个数的相反数。
- 公式:
a - b = a + (-b)。
- 乘法:
- 符号法则:
- 同号得正:
(+a) × (+b) = + (a×b)，(-a) × (-b) = + (a×b)。 - 异号得负:
(+a) × (-b) = - (a×b)，(-a) × (+b) = - (a×b)。 - 任何数与0相乘都得0:
a × 0 = 0。
- 同号得正:
- 绝对值:
|a × b| = |a| × |b|。
- 符号法则:
- 除法:
- 法则: 除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数。
- 公式:
a ÷ b = a × (1/b)(b ≠ 0)。 - 符号法则: 同乘法。
- 同号得正:
(+a) ÷ (+b) = + (a/b)，(-a) ÷ (-b) = + (a/b)。 - 异号得负:
(+a) ÷ (-b) = - (a/b)，(-a) ÷ (+b) = - (a/b)。
- 同号得正:
- 0除以任何非0的数都得0:
0 ÷ a = 0(a ≠ 0)。 - 0不能作除数。
- 运算定律:
- 加法交换律:
a + b = b + a - 加法结合律:
(a + b) + c = a + (b + c) - 乘法交换律:
a × b = b × a - 乘法结合律:
(a × b) × c = a × (b × c) - 乘法分配律:
a × (b + c) = a × b + a × c
- 加法交换律:
整数的性质
- 封闭性:
- 整数对加、减、乘运算是 封闭 的（运算结果仍是整数）。
- 整数对除法运算是 不封闭 的（如 5 ÷ 2 = 2.5 不是整数）。
- 有序性:
- 任意两个整数都可以比较大小。
... < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...
- 离散性:
在数轴上，整数点是离散分布的,任意两个整数之间都存在无限多个非整数点。
相关的数学思想
- 数形结合思想:
利用数轴将抽象的整数及其运算（如绝对值、相反数）直观化、形象化。
- 分类讨论思想:
在解决整数问题时，常常需要根据数的正、负、零等不同情况进行分类讨论（如绝对值、符号运算）。
- 转化思想:
将减法转化为加法，除法转化为乘法,将复杂问题转化为简单问题。
- 整体思想:
将一个式子或一个整体看作一个未知数来处理,简化计算。
