高一数学必修4（人教A版）思维导图

中心主题：高一数学必修4 - 三角函数与平面向量

第一部分：三角函数

1 任意角和弧度制

• 1.1 角的概念的推广
  • 正角: 按逆时针方向旋转形成的角。
  • 负角: 按顺时针方向旋转形成的角。
  • 零角: 不旋转形成的角。
  • 终边相同的角: 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{β | β = α + k·360°, k ∈ Z}。
• 1.2 弧度制
  • 定义: 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
  • 公式:
    • 弧长公式: l = |α|·r (α为弧度数)
    • 扇形面积公式: S = (1/2)·l·r = (1/2)·α·r²
  • 角度与弧度的换算:
    • 180° = π 弧度
    • 1° = π/180 弧度 ≈ 0.01745弧度
    • 1 弧度 = (180/π)° ≈ 57.30°
  • 特殊角的弧度数:
    • 0°, 90°, 180°, 270°, 360° 对应 0, π/2, π, 3π/2, 2π

2 任意角的三角函数

• 2.1 三角函数的定义
  • 坐标定义法: 设角α的终边上任意一点P的坐标是(x, y)，点P到原点的距离是 r = √(x² + y²) (r > 0)。
    • sin α = y / r
    • cos α = x / r
    • tan α = y / x (x ≠ 0)
• 2.2 三角函数线
  • 正弦线: MP (有向线段)
  • 余弦线: OM (有向线段)
  • 正切线: AT (有向线段)
  • 作用: 直观地表示三角函数值的正负和大小。
• 2.3 三角函数值在各象限的符号
  • 一全正: (sin, cos, tan 都为正)
  • 二正弦: (sin 为正)
  • 三正切: (tan 为正)
  • 四余弦: (cos 为正)
• 2.4 特殊角的三角函数值
  • 必须熟记: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° 对应的sin, cos, tan值。

3 同角三角函数的基本关系式

• 平方关系: sin²α + cos²α = 1
• 商数关系: tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
• 倒数关系: tan α · cot α = 1 (常用于化简和求值)

4 三角函数的诱导公式

• 核心思想: "奇变偶不变，符号看象限"
  • 奇变: 当α前面是奇数倍(如90°, 270°)时，函数名改变 (sin↔cos, tan↔cot)。
  • 偶不变: 当α前面是偶数倍(如180°, 360°)时，函数名不变。
  • 符号看象限: 将α视为锐角，看原角所在象限，原函数值的正负即为结果的正负。
• 常用公式:
  • sin(π - α) = sin α
  • cos(π - α) = -cos α
  • sin(π + α) = -sin α
  • cos(π + α) = -cos α
  • sin(-α) = -sin α
  • cos(-α) = cos α
  • sin(2π - α) = -sin α
  • cos(2π - α) = cos α

5 三角函数的图像与性质

• 5.1 y = sin x 的图像与性质
  • 图像: 正弦曲线
  • 定义域: R
  • 值域: [-1, 1]
  • 周期性: 周期 T = 2π
  • 奇偶性: 奇函数 (图像关于原点对称)
  • 单调性: 在 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 上增，在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] 上减 (k ∈ Z)
  • 最值: 最大值为1，最小值为-1。
• 5.2 y = cos x 的图像与性质
  • 图像: 余弦曲线
  • 定义域: R
  • 值域: [-1, 1]
  • 周期性: 周期 T = 2π
  • 奇偶性: 偶函数 (图像关于y轴对称)
  • 单调性: 在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] 上增，在 [2kπ, π + 2kπ] 上减 (k ∈ Z)
  • 最值: 最大值为1，最小值为-1。
• 5.3 y = tan x 的图像与性质
  • 图像: 正切曲线
  • 定义域: {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
  • 值域: R
  • 周期性: 周期 T = π
  • 奇偶性: 奇函数
  • 单调性: 在 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) 上单调递增 (k ∈ Z) (注意: 整个定义域上不单调)
• 5.4 函数 y = A sin(ωx + φ) 的图像
  • A (振幅): 决定峰值，A = |最大值 - 最小值| / 2，图像在y轴方向上的伸缩。
  • ω (角频率): 决定周期，T = 2π / |ω|，图像在x轴方向上的伸缩。
  • φ (初相): 决定相位，即左右平移。y = A sin(ωx + φ) 的图像可看作由 y = sin x 经过变换得到。
  • 图像变换步骤 (关键):
    1. 平移: y = sin x → y = sin(x + φ) (左移φ个单位)
    2. 伸缩: y = sin(x + φ) → y = sin(ωx + φ) (横坐标缩为原来的1/ω)
    3. 伸缩: y = sin(ωx + φ) → y = A sin(ωx + φ) (纵坐标伸长为原来的A倍)
  • 五点法作图: 取一个周期内的五个关键点 (零点、最值点) 来描点作图。

6 三角恒等变换

• 6.1 两角和与差的公式
  • sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
  • cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
  • tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)
• 6.2 二倍角公式
  • 来源: 由和角公式令 得到。
  • sin 2α = 2 sin α cos α
  • cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α (三个形式，灵活选用)
  • tan 2α = 2 tan α / (1 - tan²α)
• 6.3 公式的逆用与变形
  • 1 + cos 2α = 2cos²α
  • 1 - cos 2α = 2sin²α
  • a sin x + b cos x = √(a²+b²) sin(x + φ) (tan φ = b/a)，用于求最值和周期。

第二部分：平面向量

1 平面向量的实际背景及基本概念

• 1.1 向量的概念
  • 向量: 既有大小又有方向的量。
  • 数量: 只有大小没有方向的量。
  • 表示法: a 或 AB (带箭头)。
  • 模: 向量的大小，记作 |a| 或 |AB|。
  • 零向量: 模为0的向量，方向任意。
  • 单位向量: 模为1的向量。
  • 平行向量 (共线向量): 方向相同或相反的非零向量。a // b。
  • 相等向量: 模相等且方向相同的向量。
  • 相反向量: 模相等且方向相反的向量。

2 平面向量的线性运算

• 2.1 向量加法
  • 法则: 三角形法则、平行四边形法则。
  • 运算律: a + b = b + a (交换律), (a + b) + c = a + (b + c) (结合律)。
• 2.2 向量减法
  • 法则: a - b = a + (-b) (加上相反向量)。
  • 几何意义: a - b 表示从 b 的终点指向 a 的终点的向量。
• 2.3 数乘向量
  • 定义: λa (λ为实数)。
  • 几何意义: |λa| = |λ|·|a|，当λ > 0时，方向与a相同；当λ < 0时，方向与a相反；当λ=0时，为零向量。
  • 运算律: λ(μa) = (λμ)a, (λ+μ)a = λa + μa, λ(a+b) = λa + λb。

3 平面向量的基本定理及坐标表示

• 3.1 平面向量基本定理
  • e₁, e₂ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 ，使 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。
  • 基底: e₁, e₂ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
• 3.2 正交分解与坐标表示
  • 坐标: 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底，对于向量 a，有 a = xi + yj，则 (x, y) 叫做向量 a 的直角坐标。
  • 向量的坐标: 向量 a = (x, y) 的坐标就是其终点坐标减去起点坐标。
• 3.3 平面向量的坐标运算
  • 加法: a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂) → a + b = (x₁+x₂, y₁+y₂)
  • 减法: a - b = (x₁-x₂, y₁-y₂)
  • 数乘: λa = (λx₁, λy₁)
  • 坐标化: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) → AB = (x₂-x₁, y₂-y₁)

4 平面向量的数量积

• 4.1 数量积的定义
  • 几何定义: a · b = |a| |b| cos θ (θ是a与b的夹角)。
  • 物理意义: 力对物体所做的功 W = F · s。
  • 坐标定义: a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂) → a · b = x₁x₂ + y₁y₂。
• 4.2 数量积的运算律
  • a · b = b · a (交换律)
  • (λa) · b = λ(a · b) = a · (λb) (结合律)
  • a · (b + c) = a · b + a · c (分配律)
• 4.3 重要性质
  • a · a = |a|²
  • a ⊥ b ⇔ a · b = 0 (垂直的充要条件)
  • cos θ = (a · b) / (|a| |b|) (夹角公式)
  • |a · b| ≤ |a| |b| (柯西-施瓦茨不等式)

5 平面向量应用举例

• 几何应用:
  • 证明平行、垂直、共线。
  • 计算长度、角度、面积。
  • 解决解析几何问题 (如直线位置关系)。
• 物理应用:
  • 力的合成与分解。
  • 速度的合成与分解。
  • 功的计算。

学习建议

1. 数形结合: 三角函数和向量都高度依赖图形，务必养成画图的习惯，通过图像理解性质和公式。
2. 公式联系: 诱导公式、和差角公式、二倍角公式之间联系紧密，理解它们的推导过程，而不是死记硬背。
3. 对比学习: 将向量的线性运算与实数的加减乘除进行对比，理解其异同，向量没有除法运算。
4. 多做练习: 尤其是三角恒等变换和向量综合应用题，通过练习来巩固和加深理解。

希望这份思维导图能帮助你系统地掌握高一数学必修4的知识！