经典奥数思维题
** 在一个圆形的跑道上，有A、B、C三个点，将跑道分成三段弧，长度之比为 1 : 2 : 3，甲、乙、丙三个同学同时从A点出发,沿同一方向跑步。
- 甲的速度是每分钟跑1段弧长。
- 乙的速度是每分钟跑2段弧长。
- 丙的速度是每分钟跑3段弧长。
问：在出发后的某一时刻，甲、乙、丙三人是否会再次同时在A点相遇？如果会，是在出发后多少分钟？
解题思路分析
这道题的关键点在于理解“再次同时在A点相遇”的含义，这不仅仅是三个人跑的距离相同，更重要的是，每个人跑过的完整圈数都必须是整数。
第一步：理解跑道和速度
-
跑道划分：我们把跑道的总长度看作一个整体“1”。
- 三段弧长分别为：1份、2份、3份。
- 总长度 = 1 + 2 + 3 = 6份。
- A点到A点,跑完一圈是6份弧长。
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跑步速度：
- 甲的速度：1份/分钟
- 乙的速度：2份/分钟
- 丙的速度：3份/分钟
第二步：设定变量，建立方程
我们设他们再次在A点相遇的时刻是 t 分钟后。
在 t 分钟后：
- 甲跑的距离 = 速度 × 时间 = 1 × t = t 份。
- 乙跑的距离 = 2 × t = 2t 份。
- 丙跑的距离 = 3 × t = 3t 份。
第三步：分析“相遇”的条件
“再次同时在A点相遇”意味着：
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每个人跑的总距离，都必须是跑道总长度的整数倍，因为只有这样,他们才能正好回到起点A。
- 甲跑的距离 t 必须是6的倍数。
- 乙跑的距离 2t 必须是6的倍数。
- 丙跑的距离 3t 必须是6的倍数。
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我们需要找到一个最小的正数 t，使得以上三个条件同时满足。
第四步：寻找满足条件的最小t
我们的问题转化为：找到一个最小的正整数 t，使得 t、2t、3t 都是6的倍数。
让我们逐一分析：
-
从甲的条件出发：t 是6的倍数。
- t 是6的倍数，t 的可能取值是 6, 12, 18, 24, ...
- 我们要找最小的那个，所以先尝试 t = 6。
-
验证 t = 6 是否满足所有人的条件。
- 当 t = 6 分钟时：
- 甲跑了：1 × 6 = 6 份，6 ÷ 6 = 1 圈，是整数圈，甲回到了A点。
- 乙跑了：2 × 6 = 12 份，12 ÷ 6 = 2 圈，是整数圈，乙回到了A点。
- 丙跑了：3 × 6 = 18 份，18 ÷ 6 = 3 圈，是整数圈，丙回到了A点。
- 当 t = 6 分钟时：
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得出结论。
我们发现，当 t = 6 分钟时，三个人都回到了A点，而且这是满足条件的最小时间（因为比6小的正整数都无法让甲跑够一圈）。
答案
会再次同时在A点相遇。
他们将在出发后6分钟时,再次同时在A点相遇。
奥数思维的核心提炼
这道题很好地体现了奥数思维的几个特点：
- 转化思想：将“是否相遇”这个生活化的问题，转化为“跑的距离是否为整数圈”这个数学问题。
- 建模能力：用字母
t表示时间，用简单的算式速度 × 时间表示距离,建立起数学模型。 - 寻找共性：问题的关键不是单独看每个人，而是找到那个能让三个人都满足条件的共同时间点，这本质上是求几个条件的公倍数问题。
- 从特殊到一般：我们先从最简单的情况（甲的条件）入手，找到候选答案（6, 12, 18...），然后再去验证这个答案是否满足更复杂的条件（乙和丙的条件）,这是一种非常高效的解题策略。
希望这个例子能帮助您更好地理解奥数思维！如果您想挑战更多类型的题目,可以随时告诉我。
