高中数学必修3 思维导图
中心主题：数学必修3 —— 算法初步、统计与概率
第一分支：算法初步
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核心思想：程序化、有限性、明确性、输入/输出
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目标：用计算机解决问题的步骤描述
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1 算法的概念
- 定义：解决某一类问题的一系列明确、有限的步骤。
- 特征：
- 有限性：步骤必须在有限步内完成。
- 确定性：每一步都有确切的含义，无歧义。
- 顺序性：步骤的执行顺序是确定的。
- 输入/输出：有零个或多个输入，至少有一个输出。
- 作用：是计算机科学的基础，是连接数学与计算机的桥梁。
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2 程序框图
- 定义：用规定的图形符号来描述算法的图形。
- 基本图形符号：
- 起止框：表示一个算法的开始或结束。（圆角矩形）
- 输入、输出框：表示一个算法输入或输出的信息。（平行四边形）
- 处理框：表示赋值、计算。（矩形）
- 判断框：判断条件是否成立，引出两个分支。（菱形）
- 流程线：连接程序框，表示执行流程。
- 连接点：将不同地方的流程线连接起来。
- 基本逻辑结构：
- 顺序结构：按步骤依次执行。（最基本）
- 条件结构：根据条件是否成立，选择不同执行路径。（分支）
- 循环结构：按照一定条件，重复执行某些步骤。
- 当型循环：当条件满足时，执行循环体。
- 直到型循环：执行一次循环体，直到条件满足为止。
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3 基本算法语句
- 输入语句：
INPUT "提示内容"; 变量 - 输出语句：
PRINT "提示内容"; 表达式 - 赋值语句：
变量 = 表达式（注意：是赋值号，不是等号） - 条件语句：
- IF-THEN：
IF 条件 THEN 语句体 END IF - IF-THEN-ELSE：
IF 条件 THEN 语句体1 ELSE 语句体2 END IF
- IF-THEN：
- 循环语句：
- WHILE 语句（当型循环）：
WHILE 条件 循环体 WEND - UNTIL 语句（直到型循环）：
DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
- WHILE 语句（当型循环）：
- 输入语句：
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第二分支：统计
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核心思想：用样本估计总体，从数据中提取信息
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目标：收集、整理、分析数据，并做出推断
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1 随机抽样
- 总体：研究对象的全体。
- 个体：总体中的每一个对象。
- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 样本容量：样本中个体的数量。
- 抽样方法：
- 简单随机抽样：
- 定义：从总体中逐个抽取，且每个个体被抽到的机会相等。
- 方法：抽签法、随机数表法。
- 系统抽样：
- 定义：将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取。
- 步骤：编号 → 分段 → 确定起始个体 → 抽取。
- 分层抽样：
- 定义：当总体由差异明显的几部分组成时，将总体分成几层，然后按各层在总体中的比例进行抽样。
- 特点：层内差异小，层间差异大。
- 简单随机抽样：
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2 用样本估计总体
- 2.1 用样本的数字特征估计总体的数字特征
- 众数：一组数据中出现次数最多的数据。
- 中位数：将一组数据从小到大排列，处在中间位置的数据（或中间两个数据的平均值）。
- 平均数：所有数据的总和除以数据的个数。
- 标准差：衡量一组数据波动大小的量。
- 公式：$s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}$
- 意义：标准差越大，数据的离散程度（波动性）越大；反之越小。
- 2.2 用样本的频率分布估计总体的分布
- 频率分布表：整理数据，展示各小组的频数和频率。
- 频率分布直方图：
- 横轴：数据组距。
- 纵轴：频率/组距。
- 面积：表示各小组的频率。
- 特点：直观展示数据分布的形态（如对称、偏态）。
- 频率分布折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端的中点。
- 茎叶图：
- 优点：保留了所有原始数据，便于记录和表示。
- 结构：茎（高位数字） | 叶（低位数字）。
- 2.1 用样本的数字特征估计总体的数字特征
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3 变量间的相关关系
- 相关关系：两个变量之间存在某种不确定性关系，但不是严格的函数关系。
- 散点图：
- 用途：判断两个变量是否具有相关关系。
- 形态：点的分布是否集中在一条直线附近。
- 线性相关：
- 正相关：一个变量增大，另一个变量也大致增大。
- 负相关：一个变量增大，另一个变量也大致减小。
- 回归直线：
- 定义：最能代表数据点散布趋势的直线。
- 求法：最小二乘法。
- 回归方程：$\hat{y} = bx + a$
- $b$ 是斜率，$a$ 是截距。
- 公式： $b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})(yi - \overline{y})}{\sum{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}$ $a = \overline{y} - b\overline{x}$
- 相关系数：
- 符号：$r$。
- 范围：$-1 \le r \le 1$。
- 意义：衡量两个变量线性相关性的强弱。
- $r > 0$：正相关；$r < 0$：负相关。
- $|r|$ 越接近 1，线性相关性越强；越接近 0，线性相关性越弱。
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第三分支：概率
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核心思想：研究随机现象的数量规律
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目标：计算随机事件发生的可能性大小
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1 随机事件的概率
- 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
- 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
- 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
- 频率：在重复试验中，事件 $A$ 发生的次数 $n_A$ 与试验总次数 $n$ 的比值。
- 特点：随着试验次数增加，频率会稳定在某个常数附近。
- 概率：
- 定义：度量随机事件发生可能性大小的数值。
- 记号：$P(A)$。
- 范围：$0 \le P(A) \le 1$。
- 必然事件概率为 1。
- 不可能事件概率为 0。
- 随机事件概率在 0 到 1 之间。
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2 古典概型
- 定义：
- 有限性：试验的所有可能结果（基本事件）只有有限个。
- 等可能性：每个基本事件发生的可能性相等。
- 概率公式： $P(A) = \frac{A \text{ 包含的基本事件个数}}{\text{总的基本事件个数}}$
- 定义：
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3 几何概型
- 定义：
- 无限性：试验的所有可能结果（基本事件）有无限个。
- 等可能性：每个基本事件发生的可能性相等。
- 概率公式： $P(A) = \frac{\text{构成事件A的区域长度（面积或体积）}}{\text{试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）}}$
- 应用：与长度、面积、体积、时间等有关的概率问题。
- 定义：
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总结与联系
- 算法与统计：统计中的数据处理（如计算平均数、标准差）可以通过算法和程序框图来精确描述和实现。
- 统计与概率：统计是“用样本估计总体”，其理论基础是概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。
- 贯穿思想：本模块的核心是数据处理观念和随机思想，从收集数据（抽样），到整理分析数据（统计图表、数字特征），再到利用数据做出推断（回归分析、概率计算），形成了一个完整的逻辑链条。
希望这份思维导图能帮助你更好地理解和掌握数学必修3的内容！
