正数与负数 思维导图
中心主题：正数与负数
一级分支 1：基本概念
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1 定义
- 正数: 大于0的数。 +5, 3.14, ½ (前面可以省略“+”号)
- 负数: 小于0的数，必须在数字前加上“-”号。 -10, -2.7, -¾
- 0: 既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。
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2 引入背景
- 生活实例:
- 温度: 零上温度为正（如 +5°C），零下温度为负（如 -10°C）。
- 海拔: 海平面以上为正（如珠穆朗玛峰 +8848.86米），海平面以下为负（如马里亚纳海沟 -11034米）。
- 财务: 收入为正，支出为负。
- 方向: 水平面上，通常规定向右为正方向，向左为负方向；竖直向上为正方向，向下为负方向。
- 生活实例:
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3 关键符号
- “+” (正号): 表示正数，可省略。
- “-” (负号): 表示负数，不可省略。
- “0” (零): 唯一的中性数。
一级分支 2：在数轴上的表示
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1 数轴定义
- 一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
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2 要素
- 原点: 对应数 0，是数轴的基准点。
- 正方向: 通常箭头向右，表示数的递增方向。
- 单位长度: 相邻两个整数之间的距离。
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3 几何意义
- 每一个正数、负数和0都可以在数轴上找到唯一的点与之对应。
- 正数: 位于原点的右边。
- 负数: 位于原点的左边。
- 0: 位于原点。
一级分支 3：比较大小
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1 基本原则
- 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
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2 具体规则
- 正数与正数: 绝对值大的数大。 (e.g., 8 > 5)
- 负数与负数: 绝对值大的数反而小。 (e.g., -5 > -8)
- 正数与负数: 所有正数都大于0，所有负数都小于0。 (e.g., 2 > -3, -1 < 0)
- 0与正/负数: 如上所述，0是分界点。
一级分支 4：运算规则
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1 加法
- 同号数相加:
- 取相同的符号。
- 并把绝对值相加。
- 例: (+5) + (+3) = +8; (-5) + (-3) = -8
- 异号数相加:
- 取绝对值较大数的符号。
- 用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 例: (+5) + (-3) = +2; (-5) + (+3) = -2
- 与0相加:
- 任何数与0相加,仍得这个数。
- 例: (+5) + 0 = +5; (-3) + 0 = -3
- 同号数相加:
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2 减法
- 核心法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a - b = a + (-b)- 例: 7 - 9 = 7 + (-9) = -2; (-5) - (-3) = (-5) + (+3) = -2
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3 乘法
- 符号法则:
- 正 × 正 = 正 (e.g., 2 × 3 = 6)
- 负 × 负 = 正 (e.g., -2 × -3 = 6)
- 正 × 负 = 负 (e.g., 2 × -3 = -6)
- 负 × 正 = 负 (e.g., -2 × 3 = -6)
- 绝对值: 把绝对值相乘。
- 0的特性: 任何数与0相乘，都得0。
- 符号法则:
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4 除法
- 符号法则: 与乘法符号法则完全相同。
- 正 ÷ 正 = 正
- 负 ÷ 负 = 正
- 正 ÷ 负 = 负
- 负 ÷ 正 = 负
- 绝对值: 把绝对值相除。
- 0的特性: 0除以任何非0的数都得0。0不能作除数。
- 符号法则: 与乘法符号法则完全相同。
一级分支 5：相关概念
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1 相反数
- 定义: 只有符号不同的两个数互为相反数。
- 特点: 两个数的和为0。 (e.g., 5的相反数是-5, -a的相反数是a)
- 几何意义: 在数轴上，关于原点对称的两个点表示的数互为相反数。
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2 绝对值
- 定义: 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离。
- 表示法:
|a|(读作a的绝对值) - 计算法则:
- 正数的绝对值是它本身。 (e.g., |+5| = 5)
- 负数的绝对值是它的相反数。 (e.g., |-5| = 5)
- 0的绝对值是0。 (e.g., |0| = 0)
- 作用: 绝对值表示一个数“离开”原点的距离，是一个非负数。
一级分支 6：实际应用
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1 科学领域
表示海拔、温度、电流方向、分子电荷等。
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2 经济金融
记录盈利(+)与亏损(-)、资产与负债、股票涨跌等。
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3 体育比赛
记录比分（如主队让球）、净胜球等。
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4 日常生活
记录体重变化（增+，减-）、电梯楼层（地上+，地下-）等。
