人教版小学数学四年级下册 全册知识思维导图

中心主题：四年级下册数学知识体系

第一单元：四则运算

• 核心目标： 掌握加、减、乘、除四则运算的意义和各部分间的关系，并能进行正确的混合运算。
• 四则运算的意义
  • 加法： 把两个数合并成一个数的运算。 (a + b = c)
  • 减法： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 (c - a = b)
  • 乘法： 求几个相同加数和的简便运算。 (a × b = c)
  • 除法： 已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 (c ÷ a = b)
• 四则运算各部分间的关系
  • 加法： 和 = 加数 + 加数； 一个加数 = 和 - 另一个加数
  • 减法： 差 = 被减数 - 减数； 被减数 = 差 + 减数； 减数 = 被减数 - 差
  • 乘法： 积 = 因数 × 因数； 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数
  • 除法： 商 = 被除数 ÷ 除数； 被除数 = 商 × 除数； 除数 = 被除数 ÷ 商
  • 作用： 用于加法、减法、乘法、除法的验算。
• 运算顺序
  • 同级运算： 从左到右，依次计算。

    25 + 5 - 10 = 30 - 10 = 20

  • 不同级运算： 先算乘、除法，后算加、减法。

    100 - 25 × 3 = 100 - 75 = 25

  • 有括号的运算： 先算小括号里面的，再算小括号外面的。

    (100 - 25) × 3 = 75 × 3 = 225

  • “先乘除，后加减，有括号先算括号里” 是核心法则。

第二单元：观察物体（二）

• 核心目标： 能从不同方向（前面、上面、左面）观察同一个几何体，并根据看到的形状进行判断和推理。
• 从不同方向观察
  • 从前面看： 看到的是物体的长和高。
  • 从上面看： 看到的是物体的长和宽。
  • 从左面看： 看到的是物体的宽和高。
• 根据看到的形状还原几何体
  • 关键： 先确定底层有几块小正方体，再判断上层是否有。
  • 方法：
    1. 根据从上面看到的形状,确定底层小正方体的摆放位置。
    2. 根据从前面和左面看到的每一列的小正方形数量,判断该列上小正方体的层数。
  • 注意： 可能存在多种情况，需要综合三个方向的观察结果来确定。

第三单元：运算定律

• 核心目标： 理解并掌握加法和乘法的运算定律，并能运用它们进行简便计算。
• 加法运算定律
  • 加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
    • 字母表示： a + b = b + a
    • 例子： 25 + 65 = 65 + 25
  • 加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。
    • 字母表示： (a + b) + c = a + (b + c)
    • 例子： (37 + 28) + 72 = 37 + (28 + 72)
  • 应用： 使计算简便，特别是凑整（如凑成整十、整百）。
• 乘法运算定律
  • 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
    • 字母表示： a × b = b × a
    • 例子： 25 × 4 = 4 × 25
  • 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。
    • 字母表示： (a × b) × c = a × (b × c)
    • 例子： (25 × 4) × 5 = 25 × (4 × 5)
  • 乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。
    • 字母表示： (a + b) × c = a × c + b × c
    • 例子： (10 + 4) × 25 = 10 × 25 + 4 × 25
    • 易错点： (a × b) × c ≠ a × (b + c)

第四单元：小数的意义和性质

• 核心目标： 理解小数的意义，掌握小数的基本性质、读写方法、大小比较以及小数点的移动规律。
• 小数的意义和读写
  • 意义： 分母是10、100、1000...的分数可以用小数表示，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几。
  • 组成： 整数部分 | 小数点 | 小数部分
  • 读写：
    • 读法： 整数部分按整数的读法，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数字。
    • 写法： 按照读法写出，小数点写在个位的右下角。
• 小数的基本性质
  • 小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
  • 作用： 根据性质可以化简小数或改写小数。
    • 化简： 0.70 = 0.7
    • 改写： 3.2 = 3.20
• 小数的大小比较
  • 方法：
    1. 先比较整数部分,整数部分大的那个数就大。
    2. 整数部分相同,比较十分位，十分位大的那个数就大。
    3. 十分位也相同,比较百分位，以此类推。
• 小数点移动引起小数大小变化的规律
  • 向右移动：
    • 移动一位,扩大到原数的10倍。
    • 移动两位,扩大到原数的100倍。
    • 移动三位,扩大到原数的1000倍。
  • 向左移动：
    • 移动一位,缩小到原数的1/10。
    • 移动两位,缩小到原数的1/100。
    • 移动三位,缩小到原数的1/1000。
• 小数的近似数
  • 方法： 用“四舍五入”法求小数的近似数。
  • 精确度： 保留一位小数，要看第二位小数；保留两位小数，要看第三位小数...
  • 改写： 有时根据需要，可以把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
    • 例子： 387000 = 38.7万

第五单元：三角形

• 核心目标： 认识三角形的特性，掌握三角形任意两边之和大于第三边的规律，以及三个内角和是180°。
• 三角形的定义及特性
  • 定义： 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）。
  • 特性： 具有稳定性。
• 三角形的分类
  • 按角分：
    • 锐角三角形： 三个角都是锐角。
    • 直角三角形： 有一个角是直角。
    • 钝角三角形： 有一个角是钝角。
  • 按边分：
    • 不等边三角形： 三条边都不相等。
    • 等腰三角形： 有两条边相等，相等的两条边叫腰，另一条叫底，两个底角相等。
    • 等边三角形（正三角形）： 三条边都相等，三个角都是60°，是特殊的等腰三角形。
• 三角形三边关系
  • 规律： 任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
  • 应用： 判断三条线段能否围成一个三角形。
• 三角形的内角和
  • 定理： 三角形的内角和是180°。
  • 应用： 已知两个角，求第三个角。 (第三个角 = 180° - 已知两角之和)
  • 拓展： 多边形的内角和 = (n-2) × 180° (n为边数)

第六单元：小数的加法和减法

• 核心目标： 掌握小数加减法的计算法则，并能进行正确计算和验算。
• 小数加减法法则
  • 核心： 小数点对齐（相同数位对齐）。
  • 步骤：
    1. 使小数点对齐。
    2. 按照整数加减法的法则进行计算。
    3. 得数里的小数点要和横线上的小数点对齐。
• 小数加减混合运算
  • 顺序： 与整数混合运算顺序相同（从左到右，先乘除后加减，有括号先算括号里）。
  • 简便运算： 可以运用整数运算定律（加法交换律、结合律）进行简算。
• 整数加法运算定律推广到小数
  • 加法交换律： a + b = b + a
  • 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
  • 应用： 使小数计算更简便。

第七单元：图形的运动（二）

• 核心目标： 认识轴对称和平移，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形和将一个图形进行平移。
• 轴对称
  • 轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，两边完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
  • 特征： 对称轴两边的部分完全相同，沿对称轴对折后完全重合。
  • 画法： 找关键点（顶点）的对称点，再连线。
• 平移
  • 定义： 物体或图形沿直线方向运动，本身的方向、大小、形状都不发生改变。
  • 要素： 方向和距离。
  • 画法：
    1. 找图形的关键点（顶点）。
    2. 将每个关键点沿指定方向移动指定距离,得到新的对应点。
    3. 连接新的对应点,画出平移后的图形。

第八单元：平均数与条形统计图

• 核心目标： 理解平均数的意义，会求简单数据的平均数，并能根据数据分析问题，认识复式条形统计图。
• 平均数
  • 意义： 一组数据的“平均水平”，它是一个“虚拟”的数，能反映这组数据的总体情况。
  • 求法： 总数 ÷ 总份数 = 平均数
  • 特点： 平均数比最小的数大，比最大的数小。
• 条形统计图
  • 单式条形统计图： 只表示一组数据的统计图。
  • 复式条形统计图： 表示两组或多组数据的统计图，用不同颜色的直条区分。
  • 优点： 能直观、清楚地表示出数据的多少和数量之间的差异，便于比较。

第九单元：数学广角——鸡兔同笼

• 核心目标： 了解“鸡兔同笼”问题，并尝试用列表法、假设法等多种方法解决问题，体会解决问题策略的多样性。
• 问题模型
  • 经典问题： 笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问鸡和兔各有多少只？
• 解题方法
  • 列表法： 逐一列表，从鸡（或兔）只数为0开始，直到找到符合条件的答案，适用于数据较小的情况。
  • 假设法（核心方法）：
    • 假设全是鸡：
      • 脚的总数：35 × 2 = 70 (只)
      • 比实际少：94 - 70 = 24 (只)
      • 原因：把每只兔子当成了鸡，每只少算 4 - 2 = 2 (只)脚。
      • 兔子数量：24 ÷ 2 = 12 (只)
      • 鸡的数量：35 - 12 = 23 (只)
    • 假设全是兔：
      • 脚的总数：35 × 4 = 140 (只)
      • 比实际多：140 - 94 = 46 (只)
      • 原因：把每只鸡当成了兔子，每只多算 4 - 2 = 2 (只)脚。
      • 鸡的数量：46 ÷ 2 = 23 (只)
      • 兔子数量：35 - 23 = 12 (只)