七年级上册 数学思维导图

核心主题：数与代数的基础，从算术到代数的过渡

中心：七年级上册数学

• 有理数

  • 1 正数和负数
    • 概念：大于0的数是正数；在正数前加“-”号（负号）的数是负数。
    • 作用：表示具有相反意义的量（如：零上温度/零下温度，收入/支出）。
    • 0：既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。
  • 2 有理数
    • 概念：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。
    • 分类：
      • 按定义分：整数、分数。
      • 按性质分：正有理数、0、负有理数。
  • 3 数轴
    • 三要素：原点、正方向、单位长度。
    • 作用：直观地表示数，比较数的大小（左边的数总比右边的数小）。
  • 4 相反数
    • 概念：只有符号不同的两个数互为相反数。
    • 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
    • 性质：a的相反数是 -a；0的相反数是0。
  • 5 绝对值
    • 概念：数轴上表示数a的点与原点的距离。
    • 代数意义：
      • a > 0，|a| = a
      • a = 0，|a| = 0
      • a < 0，|a| = -a
    • 性质：绝对值最小的有理数是0；绝对值永远是非负数。
  • 6 有理数的大小比较
    • 法则：
      1. 正数 > 0 > 负数。
      2. 两个正数,绝对值大的数大。
      3. 两个负数,绝对值大的数反而小。
  • 7 有理数的加减法
    • 加法法则：
      1. 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
      2. 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
      3. 互为相反数的两数相加得0。
      4. 一个数同0相加,仍得这个数。
    • 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。（a - b = a + (-b)）
  • 8 有理数的乘除法
    • 乘法法则：
      1. 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
      2. 任何数同0相乘,都得0。
      3. 几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定（奇负得负，偶负得正）。
    • 倒数：乘积是1的两个数互为倒数，没有倒数。
    • 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。（a ÷ b = a × 1/b, b≠0）
  • 9 有理数的乘方
    • 概念：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，记作aⁿ，aⁿ读作a的n次方（或a的n次幂）。
    • 底数：a；指数：n；幂：aⁿ。
    • 符号法则：
      • 正数的任何次幂都是正数。
      • 负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
    • 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的。
  • 10 科学记数法
    • 概念：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1 ≤ |a| < 10，n为正整数）。
  • 11 有理数的混合运算
    • 关键：严格按照运算顺序，注意符号的处理。

• 整式的加减

  • 1 整式
    • 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式。
      • 系数：单项式中的数字因数。
      • 次数：所有字母的指数之和。
    • 多项式：几个单项式的和。
      • 项：多项式中每个单项式。
      • 常数项：不含字母的项。
      • 次数：多项式中次数最高的项的次数。
    • 升幂/降幂排列：按照某个字母的指数从大到小或从小到大排列。
  • 2 整式的加减
    • 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
    • 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
    • 去括号法则：
      • 括号前是“+”，去掉括号和“+”，括号里各项不变号。
      • 括号前是“-”，去掉括号和“-”，括号里各项都变号。
    • 添括号法则：与去括号法则相反。

• 一元一次方程

  • 1 从算式到方程
    • 方程：含有未知数的等式。
    • 一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1（次），等式两边都是整式的方程。
  • 2 等式的性质
    • 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
    • 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
  • 3 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
    • 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。
  • 4 解一元一次方程（二）——去括号与去分母
    • 步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。
  • 5 实际问题与一元一次方程
    • 关键步骤：
      1. 审：审题，找出等量关系。
      2. 设：设未知数。
      3. 列：根据等量关系列出方程。
      4. 解：解方程。
      5. 验：检验答案是否符合题意。
      6. 答：写出答案。
    • 常见类型：行程问题、工程问题、利润问题、配套问题、分配问题等。

• 图形的初步认识

  • 1 多姿多彩的图形
    • 立体图形：柱体、锥体、球体。
    • 平面图形：三角形、四边形、圆等。
    • 三视图：主视图、俯视图、左视图。
    • 展开图：立体图形展开成平面图形。
  • 2 直线、射线、线段
    • 直线：向两方无限延伸，没有端点，无数个点，不能度量。
    • 射线：向一方无限延伸，有一个端点，无数个点，不能度量。
    • 线段：有两个端点，有限个点，可以度量。
    • 公理：两点之间，线段最短。
    • 线段的中点：将线段分成两条相等的线段的点。
  • 3 角
    • 概念：有公共端点的两条射线组成的图形。
    • 表示方法：∠AOB, ∠O, ∠1。
    • 度量：度（°）、分（′）、秒（″），1°=60′，1′=60″。
    • 分类：
      • 锐角（0° < α < 90°）
      • 直角（α = 90°）
      • 钝角（90° < α < 180°）
      • 平角（α = 180°）
      • 周角（α = 360°）
    • 余角和补角：
      • 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。
      • 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
      • 性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。

七年级下册 数学思维导图

核心主题：图形与几何的深入，以及变量与函数的初步认识

中心：七年级下册数学

• 相交线与平行线

  • 1 相交线
    • 邻补角：有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互补。
    • 对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，相等。
    • 垂线：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直。
      • 性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
  • 2 同位角、内错角、同旁内角
    • 三线八角：两条直线被第三条直线所截，形成八个角。
      • 同位角：在两条直线的同侧，在第三条直线的同旁（F型）。
      • 内错角：在两条直线之间，在第三条直线的两旁（Z型或N型）。
      • 同旁内角：在两条直线之间，在第三条直线的同旁（C型或U型）。
  • 3 平行线的判定
    • 公理：同位角相等，两直线平行。
    • 定理1：内错角相等，两直线平行。
    • 定理2：同旁内角互补，两直线平行。
  • 4 平行线的性质
    • 性质1：两直线平行，同位角相等。
    • 性质2：两直线平行，内错角相等。
    • 性质3：两直线平行，同旁内角互补。
  • 5 平移
    • 概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移。
    • 性质：
      1. 平移不改变图形的形状和大小。
      2. 连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

• 实数

  • 1 平方根
    • 算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作√a，0的算术平方根是0。
    • 平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根），一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
  • 2 立方根
    • 概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或三次方根），记作 ³√a。
    • 性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
  • 3 实数
    • 无理数：无限不循环小数，如：π, √2, -√5等。
    • 实数：有理数和无理数统称为实数。
    • 实数分类：有理数、无理数。
    • 实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应的。
    • 实数的大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。
    • 实数的运算：有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。

• 平面直角坐标系

  • 1 平面直角坐标系
    • 概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
    • 坐标：平面内任意一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足对应的数a、b分别叫做点P的横坐标和纵坐标，有序数对(a, b)叫做点P的坐标。
  • 2 坐标方法的简单应用
    • 用坐标表示地理位置：建立适当的直角坐标系，用坐标确定位置。
    • 用坐标表示平移：
      • 在平面直角坐标系中,将点(x, y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a, y)（或(x-a, y)）。
      • 将点(x, y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x, y+b)（或(x, y-b)）。
      • 图形平移后,图形上所有点的坐标都按相同规律变化。

• 二元一次方程组

  • 1 二元一次方程组
    • 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
    • 二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
    • 解：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
  • 2 消元——解二元一次方程组
    • 代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。
    • 加减消元法：通过两个方程相加或相减，消去一个未知数，实现消元。
  • 3 实际问题与二元一次方程组
    • 关键：设两个未知数，找出两个等量关系，列出方程组求解。
    • 常见类型：配套问题、行程问题、工程问题、利润问题、数字问题等。

• 不等式与不等式组

  • 1 不等式
    • 概念：用不等号（<, >, ≤, ≥, ≠）表示不等关系的式子。
    • 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。
    • 解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合。
    • 用数轴表示解集：空心圆圈表示不包括，实心圆点表示包括。
  • 2 不等式的性质
    • 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
    • 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
    • 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变！
  • 3 一元一次不等式
    • 概念：只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
    • 解法步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1（注意不等号方向是否改变）。
  • 4 一元一次不等式组
    • 概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
    • 解集：几个不等式解集的公共部分。
    • 解法：分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来，找出它们的公共部分。
    • 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。

• 数据的收集、整理与描述

  • 1 统计调查
    • 总体：要考察的全体对象。
    • 个体：总体中每一个考察对象。
    • 样本：从总体中抽取的一部分个体。
    • 样本容量：样本中个体的数目。
    • 简单随机抽样：总体中每个个体被抽到的机会都相等。
  • 2 直方图
    • 概念：用来描述数据分布情况的统计图。
    • 制作步骤：计算最大值与最小值的差 → 决定组距和组数 → 列频数分布表 → 画频数分布直方图。
    • 与条形图的区别：直方图的小长方形连续，表示数据的分布情况；条形图的小长方形分开，表示各类别数据的数量。

希望这份详细的思维导图框架能对你的数学学习有所帮助！你可以根据自己的理解和老师的讲解，在每个分支下填充更具体的例题和解题技巧。