简便计算思维导图
中心主题：简便计算
- 核心思想：
- 变“繁”为“简”：将复杂的运算转化为简单的运算。
- 变“慢”为“快”：提高计算速度和准确性。
- 变“难”为“易”：利用数字特点,化难为易。
- 核心依据：运算定律、运算性质、数字特征。
加法简便计算
-
加法交换律
- 公式：a + b = b + a
- 应用：交换加数的位置,和不变。
- 举例：78 + 22 + 20 = 78 + 20 + 22 = 98 + 22 = 120
- 口诀：带着符号搬家。
-
加法结合律
- 公式：(a + b) + c = a + (b + c)
- 应用：改变加数的运算顺序，和不变,常用于凑整。
- 举例：88 + 45 + 12 = 88 + (45 + 12) = 88 + 57 = 145 (凑整效果不好)
- 更好例子：88 + 45 + 12 = (88 + 12) + 45 = 100 + 45 = 145
- 口诀：先算能凑成整十、整百、整千的数。
-
特殊数凑整法
- 凑十法：看到9, 8, 7... 想到和它凑成10的数。
- 举例：27 + 9 + 1 = 27 + (9 + 1) = 27 + 10 = 37
- 凑百法：看到25, 75, 50... 想到和它凑成100的数。
- 举例：136 + 75 + 25 = 136 + (75 + 25) = 136 + 100 = 236
- 凑千法：看到500, 250, 750... 想到和它凑成1000的数。
- 举例：485 + 215 + 500 = (485 + 215) + 500 = 700 + 500 = 1200
- 凑十法：看到9, 8, 7... 想到和它凑成10的数。
减法简便计算
-
连续减去等于减去所有减数之和
- 公式：a - b - c = a - (b + c)
- 应用：当两个减数能凑成整十、整百时,先求和再减。
- 举例：235 - 68 - 32 = 235 - (68 + 32) = 235 - 100 = 135
-
减去一个数等于加上它的相反数
- 公式：a - b = a + (-b)
- 应用：将减法转化为加法,利用加法交换律和结合律。
- 举例：198 - 87 + 2 = (198 + 2) - 87 = 200 - 87 = 113
-
差的变化性质
- 性质1：被减数和减数同时加上或减去同一个数，差不变。
- 公式：(a + c) - (b + c) = a - b
- 应用：将复杂的减数和被减数变得简单。
- 举例：302 - 198 = (302 + 2) - (198 + 2) = 304 - 200 = 104
- 性质2：从一个数中连续减去几个数，可以任意交换减数的位置。
- 公式：a - b - c = a - c - b
- 应用：为了凑整,可以交换减数位置。
- 举例：256 - 78 - 56 = 256 - 56 - 78 = 200 - 78 = 122
- 性质1：被减数和减数同时加上或减去同一个数，差不变。
乘法简便计算
-
乘法交换律
- 公式：a × b = b × a
- 应用：交换因数的位置,积不变。
- 举例：25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700
-
乘法结合律
- 公式：(a × b) × c = a × (b × c)
- 应用：改变因数的运算顺序，积不变,常用于凑整。
- 举例：125 × 7 × 8 = 125 × 8 × 7 = 1000 × 7 = 7000
-
乘法分配律
- 公式：(a + b) × c = a × c + b × c
- 应用：将一个数与两个数的和相乘，转化为分别相乘再相加，这是最常用、最核心的定律。
- 举例：
- 正向应用：101 × 45 = (100 + 1) × 45 = 100 × 45 + 1 × 45 = 4500 + 45 = 4545
- 逆向应用（提取公因数）：35 × 27 + 35 × 73 = 35 × (27 + 73) = 35 × 100 = 3500
-
特殊数巧算
- 5和2的倍数：看到5，就去找偶数（2的倍数）。
- 举例：25 × 16 × 125 = 25 × 4 × 4 × 125 = (25 × 4) × (4 × 125) = 100 × 500 = 50000
- 125的倍数：看到125，就去找8（因为 125 × 8 = 1000）。
- 举例：125 × 24 = 125 × 8 × 3 = 1000 × 3 = 3000
- 25的倍数：看到25，就去找4（因为 25 × 4 = 100）。
- 举例：25 × 12 = 25 × 4 × 3 = 100 × 3 = 300
- 5和2的倍数：看到5，就去找偶数（2的倍数）。
除法简便计算
-
连续除以等于除以所有除数的积
- 公式：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
- 应用：当两个除数能凑成整十、整百时,先求积再除。
- 举例：360 ÷ 5 ÷ 2 = 360 ÷ (5 × 2) = 360 ÷ 10 = 36
-
除以一个数等于乘它的倒数
- 公式：a ÷ b = a × (1/b)
- 应用：将除法转化为乘法,利用乘法交换律和结合律。
- 举例：8 ÷ 0.25 = 8 × 4 = 32 (因为 1/0.25 = 4)
-
商不变性质
- 性质：被除数和除数同时乘以或除以同一个不为0的数，商不变。
- 公式：(a × c) ÷ (b × c) = a ÷ (c ≠ 0)
- 应用：将除数变为整十、整百、整千的数,简化计算。
- 举例：850 ÷ 25 = (850 × 4) ÷ (25 × 4) = 3400 ÷ 100 = 34
- 举例：1800 ÷ 12 = (1800 ÷ 3) ÷ (12 ÷ 3) = 600 ÷ 4 = 150
- 性质：被除数和除数同时乘以或除以同一个不为0的数，商不变。
四则混合运算简便计算
-
运算顺序
- 原则：先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的。
- 策略：在保证顺序不变的前提下,灵活运用定律和性质。
-
核心技巧
- 凑整优先：寻找能凑成整十、整百、整千的数进行运算。
- 举例：99 × 68 + 99 × 32 = 99 × (68 + 32) = 99 × 100 = 9900
- 提取公因数：在加减混合或乘加混合运算中，寻找共同的因数。
- 举例：45 × 13 + 45 × 87 = 45 × (13 + 87) = 45 × 100 = 4500
- 拆分与合并：将一个数拆成两个容易计算的部分。
- 举例：102 × 45 = (100 + 2) × 45 = 4500 + 90 = 4590
- “0”和“1”的特性：
- 任何数与0相乘得0。
- 任何数与1相乘得它本身。
- 0除以任何非零数得0。
- 凑整优先：寻找能凑成整十、整百、整千的数进行运算。
简便计算的策略与心法
-
观察数字特征
- 看看有没有特殊数（如 25, 125, 5, 2, 99, 101）。
- 看看有没有能凑整的数（如 45 和 55, 78 和 22）。
-
灵活运用定律
- 不要死记硬背公式,要理解其本质。
- 乘法分配律是“万金油”,应用最广。
-
保持等号平衡
每一步变形都要保证左右两边相等,不能随意改变运算顺序或数字。
-
多加练习，形成数感
熟能生巧，通过大量练习,看到题目就能快速反应出最简便的方法。
简便计算的关键在于“凑”和“变”，凑整、凑特殊积；变顺序、变运算,核心是熟练掌握并灵活运用各种运算定律和性质。
