这是一个非常好的问题,也是在使用斯托克斯定理时最关键的一步，选择哪个曲面，答案是：任何以给定曲线 C 为边界的、光滑或分片光滑的曲面 S 都可以。
斯托克斯定理的表述是： $$ \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} $$ 这个公式成立的关键条件是 C 是 S 的边界，即 $C = \partial S$。
核心原则：自由度与便利性
既然有无限多个曲面以 C 为边界，我们该如何选择？选择的标准只有一个：计算是否方便。
我们的目标是计算左边的线积分或者右面的曲面积分,斯托克斯定理给了我们一个选择：如果计算线积分复杂，我们就把它转化为计算曲面积分，反之亦然，我们选择的曲面 S，应该使得 $(\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$ 这个表达式最容易积分。
如何选择曲面：分情况讨论
曲线 C 是一个平面曲线
这是最简单、最常见的情况。
首选选择：C 所在的平面。
这是最自然、最简单的选择，因为：
- 法向量恒定：平面的法向量 $\vec{n}$ 是一个常向量，这意味着 $d\vec{S} = \vec{n} \, dS$，$\vec{n}$ 可以提出积分号外。
- 投影简单：将曲面积分投影到某个坐标平面（如 xy-平面）上计算会非常直接。
例子： 假设曲线 C 是 xy-平面上的一个圆，那么最理想的选择就是 S 为这个圆所包围的圆盘，这个圆盘的法向量就是 $\hat{k}$ (0,0,1)，计算会非常简单。
如果曲线 C 不是标准的圆，而是 xy-平面上的任意一个闭合曲线，那么最佳选择依然是它所包围的那个平面区域。
曲线 C 是一个空间曲线（非平面曲线）
当曲线 C 不在任何一个平面上时，选择就变得灵活了，但也需要技巧。
策略：选择一个能让 $(\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$ 化简最多的曲面。
这里有几种常见的技巧：
技巧1：选择“最简单”的曲面
这个“最简单”通常指：
- 平面的一部分：即使 C 不是平面曲线，我们也可以尝试用一个平面去“切割”它，只要 C 恰好是这个平面被某个柱面或锥面截出的边界，这种情况下，依然可以利用法向量恒定的优点。
- 参数化的曲面：如果 C 可以看作是某个函数 $z=f(x,y)$ 的边界，那么我们可以选择曲面 S 为 $z=f(x,y)$ 上被 C 包围的那部分，这种曲面在计算时，其法向量可以很方便地表示为 $(-f_x, -f_y, 1)$。
技巧2：利用 $\nabla \times \vec{F}$ 的性质
这是最高级的技巧,观察旋度场 $\nabla \times \vec{F}$。
- $\nabla \times \vec{F}$ 与某个方向垂直：$(\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{k} = 0$，这意味着如果我们选择一个平行于 xy-平面的曲面（即其法向量是 $\hat{k}$），那么被积函数 $(\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{k} \, dS = 0$，此时曲面积分直接为 0，线积分也必然为 0。
- $\nabla \times \vec{F}$ 与某个方向平行：$\nabla \times \vec{F}$ 始终指向 z 轴方向，那么我们应该选择一个法向量也指向 z 轴方向的曲面，比如一个水平的平面或一个“屋顶”形状的曲面，这样点积 $(\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$ 就会简化为 $|\nabla \times \vec{F}| \, dS$，计算大大简化。
经典案例
问题：计算空间曲线 $C$ 上的线积分 $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$，$\vec{F} = (-y^2, x, z^2)$，$C$ 是圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $y + z = 2$ 的交线。
分析：
- 识别边界 C：C 是一个椭圆，它是圆柱面和平面的交线。
- 寻找以 C 为边界的曲面 S：
- 选择一（推荐）：选择平面 $y + z = 2$ 上被圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 截下的那部分椭圆盘，这是一个平面，法向量恒定。
- 平面 $y+z=2$ 的法向量是 $\vec{n} = (0, 1, 1)$，单位法向量 $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, 1)$。
- $d\vec{S} = \hat{n} \, dS = \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, 1) \, dS$。
- 计算 $\nabla \times \vec{F} = (1, 0, 1)$。
- 点积 $(\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = (1, 0, 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, 1) \, dS = \frac{1}{\sqrt{2}}(0 + 0 + 1) \, dS = \frac{1}{\sqrt{2}} \, dS$。
- 曲面积分变为 $\iint_S \frac{1}{\sqrt{2}} \, dS = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (\text{椭圆盘的面积})$，这个椭圆盘在 xy-平面的投影是圆 $x^2+y^2 \le 1$，面积为 $\pi$，通过投影关系可以算出椭圆盘本身的面积也是 $\sqrt{2}\pi$，所以积分结果是 $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2}\pi = \pi$。
- 选择二（可行但复杂）：选择圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 上被两个平面 $z=0$ 和 $y+z=2$ 截下的那部分圆柱面，这是一个“弯曲”的曲面。
- 这个曲面的法向量是变化的,需要参数化曲面（例如用柱坐标）。
- 计算 $d\vec{S}$ 会非常复杂。
- 虽然最终结果也会是 $\pi$，但计算过程会麻烦得多。
- 选择一（推荐）：选择平面 $y + z = 2$ 上被圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 截下的那部分椭圆盘，这是一个平面，法向量恒定。
在这个例子中,选择平面作为曲面 S 是最优解。
总结与步骤
当你面对一个斯托克斯定理的问题时,按以下步骤思考：
- 明确边界 C：清楚地知道积分路径 C 是什么。
- 寻找候选曲面 S：想象一下，有哪些不同的“面”是以 C 为边缘的？
- C 是平面曲线吗？如果是，优先选择它所在的平面。
- C 是空间曲线吗？考虑用一个简单的平面去“盖住”它，或者使用 C 本身定义的曲面（如 $z=f(x,y)$）。
- 计算旋度 $\nabla \times \vec{F}$：这是必须的一步。
- 评估选择：对于每个候选的曲面 S，快速心算或草算一下 $(\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$ 的形式。
- 哪个选择能让点积结果最简单？（变成一个常数，或者一个只含一个变量的函数）
- 哪个选择对应的曲面 $dS$ 最容易积分？（一个平面区域比一个复杂曲面容易）
- 做出选择并计算：选择那个能让整个二重积分最简单、最直接的曲面 S，然后进行计算。
记住斯托克斯定理的精髓：它提供了一个等价关系，你可以利用这种自由度来选择计算量最小的路径。
