相遇问题思维导图
中心主题：相遇问题
核心概念
- 定义：两个或多个物体（人或物）从不同地点同时或不同时出发，相向而行，最终在某一时刻、某一地点“碰面”的问题。
- 本质：研究的是在相遇过程中，物体运动的路程、速度和时间三者之间的关系。
- 关键特征：
- 运动方向：通常是相向而行（面对面走）。
- 运动时间：从出发到相遇，所用的时间是相同的。
- 运动路程：各自走过的路程之和等于出发时两者之间的总路程。
关键要素
- 速度
- 速度1 (v₁)：第一个物体的运动速度。
- 速度2 (v₂)：第二个物体的运动速度。
- 速度和 (v₁ + v₂)：两物体单位时间内共同缩短的距离，是解决相遇问题的核心。
- 时间
- 相遇时间 (t)：从出发到相遇所经过的时间，这是相遇问题中最重要的未知量或已知量。
- 路程
- 路程1 (S₁)：第一个物体在相遇前走过的路程。
S₁ = v₁ × t - 路程2 (S₂)：第二个物体在相遇前走过的路程。
S₂ = v₂ × t - 总路程 (S)：出发时，两个物体之间的初始距离。
S = S₁ + S₂
- 路程1 (S₁)：第一个物体在相遇前走过的路程。
基本公式
- 核心公式（最常用）
- 总路程 = 速度和 × 相遇时间
S = (v₁ + v₂) × t
- 总路程 = 速度和 × 相遇时间
- 衍生公式
- 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和
t = S ÷ (v₁ + v₂)
- 速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间
v₁ + v₂ = S ÷ t
- 各自的路程
S₁ = v₁ × tS₂ = v₂ × t
- 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和
常见类型与变式
- 基本相遇问题
- 特点：两个物体同时从两地出发，相向而行。
- 解题关键：直接套用核心公式
S = (v₁ + v₂) × t。
- 追及问题（特殊相遇）
- 特点：一个物体追另一个物体，运动方向相同（同向而行）。
- 解题关键：速度差是关键。
追及路程 = (快速度 - 慢速度) × 追及时间。
- 多次相遇问题
- 特点：相遇后继续前行，到达对方起点后再返回，再次或多次相遇。
- 解题关键：
- 从出发到第一次相遇,共走了
2个全程。 - 从出发到第 n 次相遇，共走了
2n个全程。 - 每次相遇之间,两物体走过的路程之和都等于一个全程。
- 从出发到第一次相遇,共走了
- 环形跑道相遇问题
- 特点：两人在环形跑道上跑步，相向或同向而行。
- 解题关键：
- 相向而行：每次相遇，两人路程之和等于跑道一圈的长度。
- 同向而行：属于追及问题，每次相遇，快者比慢者多跑一圈。
- 不同时出发问题
- 特点：一个物体先走，另一个物体后走。
- 解题关键：
- 先行者提前走了一段路程。
- 后行者出发后,两者开始“有效”的相遇运动。
- 总路程 = 初始距离 - 先行者提前走的路程。
- 相遇时间 = 剩余路程 ÷ 速度和。
解题步骤
- 审题画图：
- 仔细阅读题目,明确已知量和未知量。
- 画出线段图,标出起点、终点、运动方向和总路程，这是最关键的一步！
- 找出等量关系：
- 根据题意,确定核心关系：通常是“总路程 = 速度和 × 相遇时间”。
- 如果涉及不同时出发,要先用“速度 × 时间”算出提前走的路程。
- 设未知数，列方程：
- 设相遇时间为
t（通常设时间为未知数最方便）。 - 根据等量关系,列出含有未知数的方程。
- 设相遇时间为
- 解方程，作答：
- 求解方程,得到未知数的值。
- 检验答案是否符合题意。
- 写出完整的答案。
典型例题
-
例1（基本相遇）
- 题目：甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60千米/小时；另一辆汽车从乙地开往甲地，速度为80千米/小时，经过几小时两车相遇？
- 解析：
- 画图：甲地 ----420km---- 乙地
- 等量关系：总路程 = (速度甲 + 速度乙) × 相遇时间
- 设相遇时间为
t小时。 - 列方程：
420 = (60 + 80) × t - 解方程：
420 = 140t=>t = 3 - 答：经过3小时两车相遇。
-
例2（不同时出发）
- 题目：小明和小红家相距960米，小明从家出发，步行去小红家，速度为80米/分钟，小明出发5分钟后，小红才从家出发，骑车去接小明，速度为200米/分钟，小红出发后，经过多少分钟两人相遇？
- 解析：
- 画图：小明家 ----960m---- 小红家
- 等量关系：(总路程 - 小明提前走的路程) = (小明速度 + 小红速度) × 小红出发后的相遇时间
- 小明提前走的路程：
80 × 5 = 400米。 - 剩余路程：
960 - 400 = 560米。 - 设小红出发后
t分钟相遇。 - 列方程：
560 = (80 + 200) × t - 解方程：
560 = 280t=>t = 2 - 答：小红出发后2分钟两人相遇。
