逻辑推理类

需要根据已知条件，通过分析、排除、假设等方法，一步步推导出最终答案。 1：真假话问题**

桌上有三张卡片，分别写着A、B、C，这三张卡片中，一张是A，一张是B，一张是C，但它们的摆放位置是错乱的，三个学生甲、乙、丙分别做出了以下猜测：

• 甲说：“B在C的左边。”
• 乙说：“A在C的右边。”
• 丙说：“B在A的左边。”

这三个学生中，只有一个人说对了，另外两个人都说错了，请问，A、B、C三张卡片从左到右的正确顺序是什么？

解题思路：

1. 明确目标：确定A、B、C的排列顺序。
2. 列出所有可能性：三个字母的排列共有 3! = 6 种可能。
   • ABC
   • ACB
   • BAC
   • BCA
   • CAB
   • CBA
3. 逐一假设验证：将每一种排列代入三个人的话中，看看是否满足“只有一个人说对了”的条件。
   • 假设1：ABC
     • 甲：“B在C的左边。” (对)
     • 乙：“A在C的右边。” (对)
     • 丙：“B在A的左边。” (对)
     • 结果：三人都对,不符合。
   • 假设2：ACB
     • 甲：“B在C的左边。” (错)
     • 乙：“A在C的右边。” (错)
     • 丙：“B在A的左边。” (错)
     • 结果：三人都错,不符合。
   • 假设3：BAC
     • 甲：“B在C的左边。” (对)
     • 乙：“A在C的右边。” (对)
     • 丙：“B在A的左边。” (错)
     • 结果：两人对，一人错,不符合。
   • 假设4：BCA
     • 甲：“B在C的左边。” (对)
     • 乙：“A在C的右边。” (错)
     • 丙：“B在A的左边。” (对)
     • 结果：两人对，一人错,不符合。
   • 假设5：CAB
     • 甲：“B在C的左边。” (错)
     • 乙：“A在C的右边。” (对)
     • 丙：“B在A的左边。” (错)
     • 结果：只有乙对,符合条件！
   • 假设6：CBA
     • 甲：“B在C的左边。” (错)
     • 乙：“A在C的右边。” (错)
     • 丙：“B在A的左边。” (对)
     • 结果：只有丙对,也符合条件！

发现问题：根据上面的验证，CAB和CBA都符合条件，这说明题目本身可能存在歧义，或者“左边/右边”的定义需要明确，通常在数学题中，我们假设观察者是从左往右看的，如果我们将“在...的左边”理解为“紧挨着在...的左边”，

• 重新验证CAB：C和A之间隔着B，B在C的左边”是错的（因为B不紧挨着C的左边）。“A在C的右边”也是错的（因为A不紧挨着C的右边）。“B在A的左边”是对的（B紧挨着A的左边），此时只有丙对,符合。
• 重新验证CBA：C和B紧挨着。“B在C的左边”是对的。“A在C的右边”是错的。“B在A的左边”是错的，此时只有甲对,也符合。

这道题目的答案不唯一，除非有额外的条件（紧挨着”），在没有额外信息的情况下，最可能出题者的意图是 CAB 或 CBA，这是一个很好的例子,教会孩子在审题时要发现题目潜在的模糊性。

分数/百分数应用题

是六年级的重难点，关键在于找准单位“1”，并理解量率对应关系。 2：利润问题**

商店进了一批商品，按定价卖出，可获得利润20%，后来为了促销，打八折出售，结果仍然获得了10%的利润,这批商品的成本价与定价的比是多少？

解题思路：

1. 确定单位“1”：成本价是利润计算的基础，所以设成本价为“单位1”。
2. 用字母表示：设这批商品的成本价为1（或100元，计算更直观）。
3. 分析各个量：
   • 按定价卖出，利润20%，所以定价是：1 × (1 + 20%) = 1.2。
   • 打八折出售，就是按定价的 80% 出售，所以实际售价是：1.2 × 80% = 0.96。
   • 实际售价获得了10%的利润，所以实际利润是：1 × 10% = 0.1。
4. 建立等量关系：实际售价 = 成本价 + 实际利润。
   • 96 = 1 + 0.1
   • 96 = 1.1 （这里出现矛盾，说明我的假设或理解有误）
5. 重新审视：题目说“获得了10%的利润”，这个利润是相对于成本价的，所以我的第3步是正确的，问题出在哪里？让我们再理一遍：
   • 成本价 = 1
   • 定价 = 1 × (1 + 20%) = 1.2
   • 打折后售价 = 定价 × 80% = 1.2 × 0.8 = 0.96
   • 打折后利润 = 售价 - 成本价 = 0.96 - 1 = -0.04 (亏损了4%)
   • 这与题目“获得了10%的利润”完全矛盾。

发现问题：这道题目的条件是自相矛盾的，一个商品如果成本价是1，定价是1.2，那么打八折后售价是0.96，必然是亏损的，不可能盈利，这道题是一道错题。 经典变型） 商店进了一批商品，按定价卖出，可获得利润20%，后来为了促销，打九折**出售，结果仍然获得了10%的利润,这批商品的成本价与定价的比是多少？

解题思路（修正后）：

1. 设成本价为1。
2. 定价 = 1 × (1 + 20%) = 1.2。
3. 打九折后售价 = 1.2 × 90% = 1.08。
4. 打折后利润 = 售价 - 成本价 = 1.08 - 1 = 0.08。
5. 利润率 = 利润 / 成本价 = 0.08 / 1 = 8%，说获得了10%的利润,还是矛盾。

再次修正（经典变型2）： 商店进了一批商品，按定价卖出，可获得利润20%，后来为了促销，打八折出售，结果亏损了10%,这批商品的成本价与定价的比是多少？

解题思路（修正后2）：

1. 设成本价为1。
2. 定价 = 1 × (1 + 20%) = 1.2。
3. 打八折后售价 = 1.2 × 80% = 0.96。
4. 亏损了10%，意味着售价 = 成本价 × (1 - 10%) = 1 × 90% = 0.9。
5. 96 ≠ 0.9,依然矛盾。

这道题的原题是典型的“错题”，在教学中，可以把它作为一个案例，引导学生发现题目中的逻辑矛盾，培养批判性思维，一个常见的正确版本是： 商店进了一批商品，按定价卖出，可获得利润20%，后来为了促销，打八折出售，结果仍然获利，问，这批商品的成本价与定价的比是多少？ 这种问法就合理了，答案就是 1 : 1.2 = 5 : 6。

比和比例应用题

常与工程、行程等问题结合，核心是利用份数的思想来解决问题。 3：工程问题**

一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要15天完成，甲队先做了3天，然后乙队加入，两队一起做，问,两队还需要合作多少天才能完成这项工程？

解题思路：

1. 将工作总量看作单位“1”。
2. 计算各自的工作效率（即每天完成的工作量）：
   • 甲队的工作效率：1 / 12
   • 乙队的工作效率：1 / 15
3. 计算甲队先做3天完成的工作量：

   甲队3天完成的工作量： (1 / 12) × 3 = 3 / 12 = 1 / 4

4. 计算剩余的工作量：

   剩余工作量： 1 - 1 / 4 = 3 / 4

5. 计算两队合作的工作效率：
   • 合作效率： 1 / 12 + 1 / 15
   • 通分计算： (5 / 60) + (4 / 60) = 9 / 60 = 3 / 20
6. 计算完成剩余工作量所需的时间：
   • 所需时间 = 剩余工作量 / 合作效率
   • 所需时间 = (3 / 4) ÷ (3 / 20) = (3 / 4) × (20 / 3) = 20 / 4 = 5（天）

答案：两队还需要合作5天才能完成这项工程。

行程问题

行程问题是数学思维题的“常客”，变化多端，非常考验学生的综合能力。 4：相遇与追及**

甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，两车在距离中点30千米的地方相遇，求A、B两地的距离是多少千米？

解题思路：

1. 画图辅助理解：

   A ------------------------ 中点 ------------------------ B
     <--- 甲行走的距离 --->|<--- 乙行走的距离 --->
         (中点+30)         |          (中点-30)

2. 分析关键信息：“在距离中点30千米的地方相遇”。
   • 这意味着甲车走的路程比中点多了30千米。
   • 乙车走的路程比中点少了30千米。
   • 甲车比乙车多走了：30 + 30 = 60千米。
3. 利用速度差求相遇时间：
   • 甲、乙两车的速度差：60 - 50 = 10（千米/小时）。
   • 甲车比乙车多走60千米，所需的时间（也就是相遇时间）：60 ÷ 10 = 6（小时）。
4. 利用速度和求总路程：
   • 甲、乙两车的速度和：60 + 50 = 110（千米/小时）。
   • A、B两地的总距离 = 速度和 × 相遇时间 = 110 × 6 = 660（千米）。

答案：A、B两地的距离是660千米。

数论与找规律

考察学生对数字特征的敏感度和归纳推理能力。 5：余数问题**

有一个自然数，用它除以3余2，除以5余3，除以7余2,求满足条件的最小自然数是多少？

解题思路：

1. 观察条件，寻找突破口：
   • “除以3余2” 和 “除以7余2” 这两个条件的余数相同。
   • 这意味着这个数减去2之后,正好是3和7的公倍数。
2. 利用公倍数求解：
   • 3和7的最小公倍数是：3 × 7 = 21。
   • 这个数可以表示为：21 × k + 2 （k为非负整数）。
3. 代入第三个条件求解：
   • 现在我们有了一系列可能的数：2, 23, 44, 65, 86, ...
   • 将这些数代入第三个条件“除以5余3”进行验证：
     • 2 ÷ 5 = 0 ... 2 (余数不对)
     • 23 ÷ 5 = 4 ... 3 (余数正确！)
4. 得出结论：

   在所有满足前两个条件的数中,23是第一个满足第三个条件的数。

答案：满足条件的最小自然数是23。

给家长和学生的建议：

1. 理解重于记忆：思维题的价值在于解题过程，而不是最终答案，要鼓励孩子多问“为什么”,理解每一步的推理依据。
2. 画图是法宝：对于行程、几何、逻辑等问题，画图能将抽象的条件直观化,帮助理清思路。
3. 假设与验证：对于一些无从下手的问题，可以尝试用“假设法”，先做出一个假设，然后根据条件进行推理和验证,这是解决逻辑问题的有效途径。
4. 一题多解：鼓励孩子尝试用不同的方法解决同一个问题,这能极大地锻炼思维的灵活性和深刻性。
5. 不怕错题：错题是宝贵的资源，分析错题的原因，是概念不清、思路错误还是计算失误，比做十道新题更有意义。 和思路能对您有所帮助！