高等代数第一章作为整个学科的基础，核心围绕“数域与多项式”展开，构建了从数的运算扩展到代数结构研究的思维框架，其内容可划分为三大模块：数域的概念与性质、多项式的基础理论、多项式的因式分解，三者层层递进,形成逻辑闭环。
数域是高等代数的起点，它定义了运算的基本“舞台”，数域是指包含0和1，且对加、减、乘、除（除数不为0）封闭的数集，常见的有有理数域ℚ、实数域ℝ、复数域ℂ，理解数域需抓住两个关键：一是“封闭性”，即数域内任意两个数的运算结果仍在该数域内；二是“最小性”，如ℚ是最小的包含0和1的数域，数域的重要性在于，后续所有代数对象的讨论（如矩阵、线性方程组）都需在特定数域下进行，确保运算的封闭性，在ℝ中，√(-1)无意义，故多项式x²+1在ℝ上不可约，但在ℂ上可分解为(x+i)(x-i)。
多项式是本章的核心研究对象，一元多项式定义为形如f(x)=aₙxⁿ+…+a₁x+a₀（aᵢ∈数域，aₙ≠0）的表达式，其中n为次数，aₙ为首项系数，多项式的运算包括加、减、乘、带余除法，其中带余除法是关键工具：对任意多项式f(x), g(x)≠0，存在唯一q(x), r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，且deg r < deg g 或 r(x)=0，这一结论直接引出多项式的整除性：若r(x)=0，则称g(x)整除f(x)，记g(x)|f(x)，整除性具有传递性、线性性等性质,是研究多项式关系的基石。
基于整除性，进一步定义多项式的最大公因式（GCD）与互素，两个多项式的GCD是指次数最高的公因式，可通过辗转相除法求得；若GCD为1，则称两多项式互素，互素多项式满足贝祖定理：存在多项式u(x), v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1，多项式的根与因式紧密关联：数c是f(x)的根当且仅当(x-c)|f(x)，由此可得因式定理,为多项式分解提供理论依据。
多项式的因式分解是本章的应用重点，数域上多项式的唯一分解定理指出：次数≥1的多项式可唯一分解为数域中非零常数与不可约多项式的乘积（不计顺序），不可约多项式是“素数”的类比，在数域ℚ、ℝ、ℂ上，不可约多项式的形式不同：ℂ上只有一次多项式不可约；ℝ上不可约多项式为一次或二次判别式小于零的二次多项式；ℚ上则存在任意次数的不可约多项式（如x²-2），因式分解的方法包括提公因式、公式法、分组分解法、多项式除法等，对于高次多项式，还可通过有理根定理寻找可能的有理根,进而降低次数。
以下通过表格梳理本章核心概念及其联系：
| 核心概念 | 定义与性质 | 关键结论与工具 |
|---|---|---|
| 数域 | 包含0,1，对四则运算封闭的数集（如ℚ, ℝ, ℂ） | 所有讨论在固定数域下进行，影响多项式的可约性 |
| 多项式运算 | 加、减、乘、带余除法 | 带余除法：f(x)=g(x)q(x)+r(x)，deg r < deg g |
| 整除性 | g(x) | f(x) ⇔ 存在q(x)使f(x)=g(x)q(x) |
| 最大公因式(GCD) | 次数最高的公因式，辗转相除法求解 | 贝祖定理：若(f(x),g(x))=1，则∃u,v使fu+gv=1 |
| 多项式的根 | c是f(x)的根 ⇔ (x-c) | f(x) |
| 唯一分解定理 | 多项式=非零常数×不可约多项式乘积（分解唯一） | 不可约多项式在ℂ上为一次，ℝ上为一次或二次判别式<0的二次，ℚ上情况复杂 |
相关问答FAQs
Q1：数域的选择如何影响多项式的因式分解结果？
A1：数域决定了多项式系数的取值范围和运算的封闭性，直接影响不可约多项式的形式，多项式x²-2在ℚ上不可约（无法表示为ℚ上一次因式乘积），在ℝ上可分解为(x-√2)(x+√2)，而在ℂ上同样可分解，再如x²+1在ℝ上不可约，在ℂ上可分解为(x+i)(x-i)，讨论因式分解时必须明确所在数域，不同数域下分解结果可能不同。
Q2：带余除法在多项式理论中有什么核心作用？
A2：带余除法是多项式理论的基础工具，其核心作用体现在三方面：一是定义整除性，为GCD、互素等概念提供前提；二是直接推导因式定理（当余式r(x)=0时，根与因式对应）；三是实现辗转相除法，用于计算GCD，进而解决多项式方程的求解问题，没有带余除法，多项式的整除理论将缺乏严谨的逻辑基础,后续的因式分解和根的研究也无法系统展开。
