每一道题都包含 题目、解析 和 答案，希望能帮助孩子开拓思路，提升数学素养。
逻辑推理问题 ** 有A、B、C三位老师，他们分别是语文老师、数学老师和英语老师，已知：
- A老师不教语文,也不教英语。
- 语文老师和数学老师是好朋友。
- B老师正在和数学老师一起打篮球。
请问：A、B、C三位老师分别教哪一门课？
解析最适合用 排除法 和列表格的方式来解决，思路会更清晰。
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从信息最明确的条件入手。 条件1说：“A老师不教语文，也不教英语。” 在所有学科中，只有语文、数学、英语这三门，那么A老师剩下的唯一可能就是教 数学。
- 结论1：A老师是数学老师。
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利用已得出的结论，分析其他条件。 我们知道了A是数学老师，再来看条件3：“B老师正在和数学老师一起打篮球。” 这说明B老师和数学老师是两个人，既然A是数学老师，那么B老师肯定不是数学老师。
（图片来源网络，侵删）- 结论2：B老师不教数学。
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分析B老师的可能性。 B老师不教数学，他只能教语文或英语，我们再看条件2：“语文老师和数学老师是好朋友。” 这句话本身并没有直接排除谁，但它告诉我们语文老师和数学老师是存在的，且不是同一个人（这和我们之前的结论一致）。 我们回到B老师，他要么是语文老师，要么是英语老师。
- 假设B老师是语文老师：那么C老师就只能教英语了，我们来验证一下这个假设是否成立。
- A是数学老师
- B是语文老师
- C是英语老师
- 这个结果与所有条件都不冲突,是一个可能的解。
- 假设B老师是英语老师：那么C老师就只能教语文了，我们再来验证一下。
- A是数学老师
- B是英语老师
- C是语文老师
- 这个结果也与所有条件都不冲突,是另一个可能的解。
- 假设B老师是语文老师：那么C老师就只能教英语了，我们来验证一下这个假设是否成立。
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发现矛盾，重新审视。 哦，看来我们的推理遇到了一个岔路口，哪里出了问题？让我们再仔细看一遍题目，有没有我们忽略的细节？说“有A、B、C三位老师”，并且给出了三个条件，我们的两个假设似乎都成立，这说明我们可能需要换一种更严谨的推理方式。
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重新梳理，使用排除法表格。
| 语文 | 数学 | 英语 | |
|---|---|---|---|
| A老师 | × (条件1) | (排除法) | × (条件1) |
| B老师 | ? | × (与A是不同的人) | ? |
| C老师 | ? | × (A已经是数学老师) | ? |
* 从表格中，我们非常确定 **A老师是数学老师**。
* 既然A是数学老师，那么条件3“B老师和数学老师一起打篮球”就告诉我们，**B老师不是数学老师**。
* 条件2“语文老师和数学老师是好朋友”，这说明语文老师和数学老师是两个人，既然A是数学老师，*语文老师不是A老师**。
* 现在我们来看语文老师这个位置：A不能当，B可以当，C也可以当，我们似乎又回到了原点。-
关键一步：从C老师入手。 我们已经确定了A是数学老师，那么C老师就只能教语文或英语。
（图片来源网络，侵删）- 如果C老师是语文老师,那么B老师就只能是英语老师。
- 如果C老师是英语老师,那么B老师就只能是语文老师。
这两种情况都成立吗？让我们把这两种情况分别代入所有条件中检验：
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A(数), B(英), C(语)
- A不教语文、不教英语。 (成立，A教数学)
- 语文老师(C)和数学老师(A)是好朋友。 (成立)
- B老师(英语老师)和数学老师(A)一起打篮球。 (成立)
- 情况一成立。
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A(数), B(语), C(英)
- A不教语文、不教英语。 (成立，A教数学)
- 语文老师(B)和数学老师(A)是好朋友。 (成立)
- B老师(语文老师)和数学老师(A)一起打篮球。 (成立)
- 情况二也成立。
等等！ 难道这道题有两个答案吗？通常在小学的思维训练题中，答案是唯一的，我一定是在某个地方理解错了。
重新审视条件2和3的深层含义。 条件2：“语文老师和数学老师是好朋友。” 这是一种关系描述。 条件3：“B老师正在和数学老师一起打篮球。” 这也是一种关系描述。
我们已经知道A是数学老师,那么条件3就等同于：“B老师正在和A老师一起打篮球”。 条件2是：“语文老师正在和A老师是好朋友”。
这两个条件都描述了“某人”和A老师的关系，题目并没有说“好朋友”和“一起打篮球”是同一个人，B老师和语文老师可以是同一个人，也可以不是同一个人。
这意味着这道题确实存在两种可能性,这在逻辑上是完全成立的，可能出题者的目的就是为了考察学生是否能考虑到所有可能性，而不是急于找到一个唯一的答案。
答案
这道题有两个可能的答案：
- A老师 教 数学
- B老师 教 英语
- C老师 教 语文
- A老师 教 数学
- B老师 教 语文
- C老师 教 英语
分数与工程问题 ** 一项工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成，现在两队合作，但在合作期间，甲队中途休息了2天，乙队中途休息了1天，请问，完成这项工程一共用了多少天？
解析
这道题是典型的工程问题,核心思路是“将工作总量看作单位‘1’”，然后求出各自的工作效率。
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确定工作总量和效率。 我们把整个工程的工作量看作 “1”。
- 甲队单独做需要20天,所以甲队的工作效率是：1/20 (即每天完成工程的1/20)。
- 乙队单独做需要30天,所以乙队的工作效率是：1/30 (即每天完成工程的1/30)。
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分析实际工作情况。 设完成整个工程一共用了 T 天。
- 甲队休息了2天,所以甲队实际工作的天数是：T - 2 天。
- 乙队休息了1天,所以乙队实际工作的天数是：T - 1 天。
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建立等量关系。 工作总量 = 甲队完成的工作量 + 乙队完成的工作量。
- 甲队完成的工作量 = 甲队的工作效率 × 甲队工作的天数 = (1/20) × (T - 2)
- 乙队完成的工作量 = 乙队的工作效率 × 乙队工作的天数 = (1/30) × (T - 1)
可以列出方程： (T - 2) / 20 + (T - 1) / 30 = 1
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解方程。 这是一个关于T的一元一次方程，为了消去分母，我们找到20和30的最小公倍数，即 60，方程两边同时乘以60： 60 × [(T - 2) / 20 + (T - 1) / 30] = 60 × 1 60 × (T - 2) / 20 + 60 × (T - 1) / 30 = 60 3 × (T - 2) + 2 × (T - 1) = 60 3T - 6 + 2T - 2 = 60 5T - 8 = 60 5T = 60 + 8 5T = 68 T = 68 / 5 T = 13.6
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结果转换。 13.6天可以写成 13又3/5天，或者 13天又14.4小时，在数学问题中，通常保留分数形式。
答案
完成这项工程一共用了 13又3/5天。
几何与计数问题 ** 如图，在一个3×3的方格棋盘上，要连接A、B两点，沿着方格的线走，最短的路线有多少条？
解析
这是一个经典的“最短路径”计数问题，通常使用 “组合法” 或 “标数法” 来解决。
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理解“最短路径”的含义。 从A点到B点，要使路径最短，就不能走“回头路”，也就是说，每一步只能选择向右走或者向上走，从A(左下角)到B(右上角)，总共需要向右移动2格，向上移动2格，总共需要走 4步。
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将问题转化为组合问题。 我们可以把这个问题看作是在4步中选择哪几步向右走（剩下的自然就是向上走）。
- 总步数：4步。
- 需要向右的步数：2步。
- 需要向上的步数：2步。
问题就变成了：在4个位置中，选出2个位置放“向右”的步数，一共有多少种选法？这就是一个组合问题，计算公式是 C(4, 2)。
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计算组合数。 C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = (4 × 3 × 2 × 1) / [(2 × 1) × (2 × 1)] = (4 × 3) / (2 × 1) = 12 / 2 = 6。
一共有6条最短路径。
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验证（标数法）。 我们可以用另一种方法来验证答案是否正确，从起点A开始，按照“走到某一点的路径数等于其上方点路径数与左方点路径数之和”的规则，给每个点标上数字。
- A点（起点）标1。
- 第一行的点,只能从左边来，所以都是1。
- 第一列的点,只能从下边来，所以也都是1。
- 中间的点,1,1)点，路径数 = 上方(1,0) + 左方(0,1) = 1 + 1 = 2。
- (1,2)点，路径数 = 上方(1,1) + 左方(0,2) = 2 + 1 = 3。
- (2,1)点，路径数 = 上方(2,0) + 左方(1,1) = 1 + 2 = 3。
- 终点B(2,2)点，路径数 = 上方(2,1) + 左方(1,2) = 3 + 3 = 6。
两种方法得到的结果一致,说明我们的答案是正确的。
答案
从A点到B点的最短路径共有 6条。
