中心主题：圆柱
一级分支 1：定义与基本概念
- 1 几何定义
- 一个矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体。
- 由两个平行且全等的圆形底面和一个曲面侧面围成。
- 2 关键元素
- 底面:
- 两个形状、大小完全相同的圆形。
- 定义了圆柱的“大小”。
- 侧面:
- 一个曲面,展开后是一个长方形。
- 定义了圆柱的“高度”。
- 高:
- 两个底面之间的距离。
- 也是侧面展开后长方形的长。
- 母线:
- 侧面上的任意一条直线段（即展开后长方形的宽）。
- 所有母线的长度都相等,等于圆柱的高。
- 轴:
- 连接两个底面圆心的直线段。
- 轴的长度等于圆柱的高。
- 半径:
底面圆的半径。
- 直径:
底面圆的直径 (d = 2r)。
- 底面:
一级分支 2：性质
- 1 旋转对称性
围绕其轴旋转任意角度,都能与自身重合。
- 2 截面性质
- 平行于底面的截面:
是一个与底面全等的圆。
- 平行于轴的截面:
- 是一个矩形（或正方形）。
- 其一边是圆柱的高,另一边是底面圆的直径。
- 倾斜于轴的截面:
是一个椭圆。
- 平行于底面的截面:
- 3 侧面展开
- 展开后是一个长方形。
- 长方形的长 = 圆柱的底面周长 (C = 2πr)。
- 长方形的宽 = 圆柱的高 (h)。
一级分支 3：公式与计算
- 1 表面积
- 侧面积:
S_侧 = 底面周长 × 高 = 2πrh
- 表面积:
S_表 = S_侧 + 2 × S_底 = 2πrh + 2πr²S_表 = 2πr(h + r)
- 侧面积:
- 2 体积
- 公式:
V = 底面积 × 高 = πr²h
- 推导:
- 可以看作是“无限多个”圆形薄片叠加而成。
- 也可以看作是将底面为正方形的棱柱“切割”并重组而成。
- 公式:
一级分支 4：分类
- 1 按底面分
- 直圆柱: 轴与底面垂直，这是最常见的圆柱。
- 斜圆柱: 轴与底面不垂直，侧面展开是一个平行四边形。
- 2 按高与底面直径的关系分
- 等边圆柱 (高 = 直径):
h = 2r- 侧面展开是正方形。
- 高圆柱:
h > 2r - 扁圆柱:
h < 2r
- 等边圆柱 (高 = 直径):
一级分支 5：生活中的应用
- 1 建筑
- 圆柱形柱子（支撑结构）。
- 圆形塔楼、水塔、烟囱。
- 2 容器与包装
- 易拉罐、罐头瓶。
- 水桶、保温杯。
- 卷纸、纸巾筒。
- 3 机械与工业
- 液压/气动气缸。
- 轴承、滚子。
- 各种管道。
- 4 自然界
- 树干（近似圆柱）。
- 某些贝壳、动物的角。
- 5 艺术与设计
- 雕塑、纪念碑（如华盛顿纪念碑）。
- 建筑装饰柱。
一级分支 6：与其他几何体的关系
- 1 棱柱
- 圆柱是棱柱在底面边数无限增多时的极限情况。
- 共同点：都有两个平行且全等的底面，侧面都是平行四边形（圆柱的侧面是“曲面平行四边形”）。
- 2 圆锥
- 圆锥只有一个圆形底面,而圆柱有两个。
- 圆锥的顶点在底面圆的圆心正上方,而圆柱的“顶面”是一个完整的圆。
- 3 圆台
- 用一个平行于底面的平面去截圆锥,得到的下半部分就是圆台。
- 圆台可以看作是“上底面半径为零”的圆柱。
- 4 球
- 圆柱和球都是旋转对称体。
- 一个球可以内切于一个圆柱（球的直径等于圆柱的高和底面直径）。
一级分支 7：相关概念与拓展
- 1 圆柱坐标系
- 一种三维坐标系,用
(ρ, φ, z)表示空间中的点。 - 是点到 z 轴的垂直距离（相当于半径）。
- 是点在 xy 平面上的投影与 x 轴的夹角。
z是点在 z 轴上的高度。- 广泛用于物理学和工程学中处理具有轴对称性的问题。
- 一种三维坐标系,用
- 2 惯性矩
- 在物理学和工程学中,计算圆柱体（尤其是实心圆柱）绕其中心轴旋转时的惯性矩非常重要。
- 公式:
I = (1/2)mr²(m 为质量，r 为半径)。
