第一部分：数论与巧算

主要考察学生对数字特征（如奇偶性、整除性）的敏感度和灵活的计算技巧。

题1：神奇的数字“6” 一个数加上100，再减去200，最后得到的结果是这个数的2倍，请问这个数是多少？

【思路点拨】 我们可以用逆向思维来思考。

1. 最后的结果是“这个数的2倍”，说明这个数乘以2，就得到了最终结果。
2. 这个最终结果是怎么来的？是“一个数”先加100，再减200得到的，也就是：最终结果 = 原数 + 100 - 200。
3. 把前两步结合起来：原数 × 2 = 原数 + 100 - 200。
4. 简化一下：原数 × 2 = 原数 - 100。
5. 把等式两边都减去“原数”，得到：原数 = -100。

【答案】 这个数是 -100。

题2：猜猜我是谁 有一个四位数，它的个位数字和百位数字之和是10，十位数字和千位数字之和也是10，这个四位数比它的反序数（数字顺序反过来，如1234的反序数是4321）大6396，请问这个四位数是多少？

【思路点拨】

1. 设这个四位数为 ABCD，它的反序数为 DCBA。
2. 根据题意,我们有：A + C = 10，B + D = 10。
3. 我们还有一个关键等式：ABCD - DCBA = 6396。
4. 我们可以把减法竖式写出来,方便观察：

     A B C D
   - D C B A
   ----------
     6 3 9 6

5. 从个位开始分析：
   • D - A = 6，因为B+D=10，所以D=10-B，同理，A=10-C，代入上式：(10-B) - (10-C) = 6，简化得 C - B = 6。
   • 看十位：B - C 不够减，需要向百位借1，变成 (10+B) - C = 9，我们刚刚知道 C - B = 6，B - C = -6，代入得 (10 - 6) = 4，但这与结果9不符，说明借位后应该是 (10+B) - C - 1 = 9 (因为百位借走了1)，(10+B) - C = 10，又因为 C - B = 6，代入得 10 + (C-6) - C = 10，10 - 6 = 4，依然不对，看来我的初步假设有误，重新来过。
6. 更简单的方法：
   • 我们知道 ABCD - DCBA = 6396。
   • ABCD = 1000A + 100B + 10C + D
   • DCBA = 1000D + 100C + 10B + A
   • ABCD - DCBA = (1000A - A) + (100B - 10B) + (10C - 100C) + (D - 1000D)
   • = 999A + 90B - 90C - 999D
   • = 999(A - D) + 90(B - C)
   • = 6396
   • 两边同时除以9：111(A - D) + 10(B - C) = 710。
7. 结合我们之前得到的 D - A = 6 (从个位差为6推断，且A>D)，A - D = -6。
8. 代入上式：111 * (-6) + 10(B - C) = 710 -> -666 + 10(B - C) = 710 -> 10(B - C) = 1376 -> B - C = 137.6。
9. 发现问题： 这个结果不对，说明“个位差为6”的推断可能有误，因为百位向十位借了1，所以十位的计算是 (10+B) - C = 9，即 B - C = -1。
10. 重新整理已知条件：
    • A + C = 10
    • B + D = 10
    • B - C = -1 (从十位得出)
    • D - A = 6 (从个位得出)
11. 从 B - C = -1 得 B = C - 1。
12. 从 A + C = 10 得 A = 10 - C。
13. 从 B + D = 10 得 D = 10 - B = 10 - (C - 1) = 11 - C。
14. 把 A 和 D 的表达式代入 D - A = 6： (11 - C) - (10 - C) = 6 11 - C - 10 + C = 6 1 = 6
15. 再次发现问题： 逻辑矛盾！这说明我的初始假设“个位差为6”是错的，让我们重新审视竖式：

      A B C D
    - D C B A
    ----------
      6 3 9 6

    • 个位： D - A 不够减，向十位借1，变成 (10+D) - A = 6。 (1)
    • 十位： 因为借走了1，所以是 (B-1) - C 不够减，向百位借1，变成 (10+B-1) - C = 9，即 (9+B) - C = 9，B - C = 0，即 B = C。 (2)
    • 百位： 因为借走了1，所以是 (B-1) - C 不够减，向千位借1，变成 (10+B-1) - C = 3，即 (9+B) - C = 3。 (3)
16. 发现矛盾： (2)式说 B-C=0，(3)式说 B-C=-6，这说明我的借位分析还是有问题，最简单的方法是直接设数。
17. 设数法：
    • B=C。 (从十位分析，(10+B-1)-C=9 -> B-C=0)
    • A+C=10, B+D=10，因为B=C，C+D=10。
    • D-A=6。 (从个位分析，(10+D)-A=6)
    • 现在我们有 A+C=10 和 D-A=6，两式相加：C+D=16。
    • 但我们之前得出 C+D=10，矛盾了！
18. 最终正确思路： 让我们从最关键的等式出发：ABCD - DCBA = 6396。
    • ABCD = DCBA + 6396。
    • 一个四位数加上6396,结果还是四位数，说明 DCBA 必须很小，A 和 D 的差不能太大。
    • A 和 D 的差决定了这个数的量级。6396 的首位是6，A-D 应该接近6。
    • 我们来尝试 A-D=6。
    • A = D + 6。
    • A+C=10 -> (D+6)+C=10 -> C+D=4。
    • B+D=10 -> B=10-D。
    • B=C (从十位分析 (9+B)-C=9 得出) -> 10-D = C。
    • 现在我们有两个关于 C 和 D 的方程：
      1. C + D = 4
      2. C + D = 10
    • 这道题在给定的条件下是无解的，或者题目本身有误，最可能的情况是题目中的数字“6396”写错了，如果差是 6196，我们可以解出来：
      • A-D=6。
      • 十位 (9+B)-C=9 -> B=C。
      • 百位 (9+B-1)-C=1 -> (8+B)-C=1 -> B-C=-7。
      • 又 B=C，0=-7，还是不行。
    • 如果差是 5994：
      • A-D=6。
      • 十位 (9+B)-C=9 -> B=C。
      • 百位 (9+B-1)-C=9 -> (8+B)-C=9 -> B-C=1。
      • 又 B=C，0=1，不行。
    • 看来这类题目需要更强的技巧或不同的切入点，我们换一道经典的。

题2（修正版）：数字的规律 观察下面的数列，找出规律并填空。 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ( ), 34, ...

【思路点拨】 观察相邻三个数的关系。

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 2 + 3 = 5
• 3 + 5 = 8
• 5 + 8 = 13

【答案】 规律是：从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和。 括号里的数是 8 + 13 = 21。 数列是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (21), 34, ...

第二部分：应用题

考验学生将实际问题转化为数学模型的能力。

题3：鸡兔同笼（经典问题） 笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？

【思路点拨】 这是一道非常经典的假设法问题。

1. 假设全是鸡：

   • 如果35只全都是鸡,那么应该有 35 × 2 = 70 只脚。
   • 实际上有94只脚,比假设多了 94 - 70 = 24 只脚。
   • 为什么会多？因为我们把每只兔子都当成了鸡，每只兔子少算了 4 - 2 = 2 只脚。
   • 兔子的数量就是 24 ÷ 2 = 12 只。
   • 那么鸡的数量就是 35 - 12 = 23 只。

2. 假设全是兔：

   • 如果35只全都是兔子,那么应该有 35 × 4 = 140 只脚。
   • 实际上有94只脚,比假设少了 140 - 94 = 46 只脚。
   • 为什么会少？因为我们把每只鸡都当成了兔子，每只鸡多算了 4 - 2 = 2 只脚。
   • 鸡的数量就是 46 ÷ 2 = 23 只。
   • 那么兔子的数量就是 35 - 23 = 12 只。

【答案】 笼中有鸡23只，兔12只。

题4：相遇问题 甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为每小时60千米；另一辆汽车从乙地开往甲地，速度为每小时80千米，经过几小时两车相遇？

【思路点拨】

1. 速度和法

   • 两车是相向而行,它们之间的距离在缩短。
   • 每小时,两车一共行驶的距离是 60 + 80 = 140 千米，这就是它们的“速度和”。
   • 总距离是420千米,用总距离除以速度和，就是相遇时间。
   • 相遇时间 = 420 ÷ 140 = 3 (小时)。

2. 方程法

   • 设经过 x 小时两车相遇。
   • 甲车行驶的距离是 60x 千米。
   • 乙车行驶的距离是 80x 千米。
   • 两车行驶的距离之和等于总距离：60x + 80x = 420。
   • 140x = 420。
   • x = 420 ÷ 140 = 3 (小时)。

【答案】 经过3小时两车相遇。

第三部分：几何与图形

考察空间想象力和对图形特征的掌握。

题5：巧求面积 一个正方形，如果边长增加4厘米，那么它的面积就会增加80平方厘米，求原来正方形的边长。

【思路点拨】 画图是解决这类问题的最好方法。

1. 画一个正方形,表示原来的正方形，边长为 a。
2. 在它的外面再画一个更大的正方形,边长为 a+4。
3. 观察增加的面积（阴影部分），它由两部分组成：
   • 一个长方形,长为 a，宽为4。
   • 另一个长方形,长为4，宽为 a。
   • 一个小正方形,边长为4。
4. 增加的总面积 = a × 4 + 4 × 4 + 4 × a = 4a + 16 + 4a = 8a + 16。
5. 根据题意,增加的面积是80平方厘米， 8a + 16 = 80 8a = 80 - 16 8a = 64 a = 64 ÷ 8 a = 8 (厘米)

【答案】 原来正方形的边长是8厘米。

第四部分：逻辑推理

需要根据已知条件,一步步排除不可能的选项，找到最终答案。

题6：谁拿了足球？ 甲、乙、丙三人中，有一人拿了足球，老师问他们是谁拿的。

• 甲说：“乙拿了。”
• 乙说：“我没拿。”
• 丙说：“甲在说谎。” 已知这三个人中只有一人说了真话，请问是谁拿了足球？

【思路点拨】 我们可以用假设法，逐一假设每个人说真话，看是否符合“只有一人说真话”的条件。

1. 假设甲说真话：

   • 如果甲说真话（“乙拿了”），那么乙确实拿了足球。
   • 那么乙说“我没拿”就是假话。
   • 丙说“甲在说谎”也是假话（因为甲说的是真话）。
   • 这样,只有甲说了真话，乙和丙都说假话。这个情况符合题目条件。

2. 假设乙说真话：

   • 如果乙说真话（“我没拿”），那么乙没有拿足球。
   • 甲说“乙拿了”就是假话。
   • 丙说“甲在说谎”就是真话（因为甲确实在说谎）。
   • 这样,乙和丙都说了真话。这不符合“只有一人说真话”的条件。

3. 假设丙说真话：

   • 如果丙说真话（“甲在说谎”），那么甲说的“乙拿了”就是假话，说明乙没拿。
   • 因为丙说的是真话,所以乙和丙都没有拿。
   • 那么足球只能由甲拿。
   • 如果甲拿了足球,那么甲说“乙拿了”就是假话。
   • 乙说“我没拿”就是真话。
   • 这样,丙和乙都说了真话。这不符合“只有一人说真话”的条件。

【答案】 只有第一种情况成立。乙拿了足球，甲说了真话，乙和丙说了假话。