初一数学第一单元：有理数 思维导图
中心主题：有理数
有理数的概念
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1 定义
- 整数: 正整数、0、负整数。
- ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...
- 分数: 正分数、负分数。
- 1/2, -3/4, 0.5 (即 1/2), -2.8 (即 -14/5)
- 有理数: 整数和分数统称为有理数。
- 核心：所有可以写成分数形式 (p/q, p, q 是整数, q≠0) 的数。
- 整数: 正整数、0、负整数。
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2 数轴
- 定义: 规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。
- 三要素:
- 原点: 数轴上表示数 0 的点。
- 正方向: 通常向右为正方向。
- 单位长度: 相邻两个整数点之间的距离。
- 作用:
- 数形结合: 直观地表示数。
- 比较大小: 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
- 定义相反数: 到原点距离相等，且位于原点两旁的两个数。
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3 相反数
- 定义: 只有符号不同的两个数互为相反数。
- 几何意义: 在数轴上，位于原点两旁，且到原点距离相等的两个点所表示的数。
- 性质:
- 0 的相反数是 0。
- a 的相反数是 -a。
- 互为相反数的两数之和为 0 (即 a + (-a) = 0)。
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4 绝对值
- 定义: 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离。
- 表示法: 数 a 的绝对值记作 |a|。
- 计算法则:
- a > 0，|a| = a
- a = 0，|a| = 0
- a < 0，|a| = -a
- 核心: 绝对值的结果永远是非负数 (即 ≥ 0)。
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5 倒数
- 定义: 乘积是 1 的两个数互为倒数。
- 表示法: a 的倒数是 1/a (a ≠ 0)。
- 性质:
- 0 没有倒数。
- 1 的倒数是 1，-1 的倒数是 -1。
- 互为倒数的两数之积为 1 (即 a × (1/a) = 1, a≠0)。
有理数的运算
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1 加法
- 法则:
- 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
- 例: (+3) + (+5) = +8; (-3) + (-5) = -8
- 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 例: (+3) + (-5) = -(5-3) = -2; (-3) + (+5) = +(5-3) = +2
- 互为相反数的两个数相加得 0。
- 例: (+3) + (-3) = 0
- 一个数同 0 相加，仍得这个数。
- 例: (-5) + 0 = -5
- 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
- 运算律:
- 加法交换律: a + b = b + a
- 加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c)
- 法则:
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2 减法
- 法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 公式: a - b = a + (-b)
- 例: 7 - 9 = 7 + (-9) = -2
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3 乘法
- 法则:
- 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 例: (+3) × (+5) = +15; (-3) × (+5) = -15
- 任何数同 0 相乘，都得 0。
- 例: 0 × (-99) = 0
- 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负。
- 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 运算律:
- 乘法交换律: a × b = b × a
- 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律: a × (b + c) = a × b + a × c
- 这是最常用、最重要的律，也是易错点！
- 法则:
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4 除法
- 法则:
- 两数相除,同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
- 例: (-12) ÷ 4 = -3
- 0 除以任何一个不为 0 的数，都得 0。
- 例: 0 ÷ (-5) = 0
- 0 不能作除数！
- 两数相除,同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
- 化简分数: 除以一个数等于乘以这个数的倒数。
- 例: (-12) ÷ 4 = (-12) × (1/4) = -3
- 法则:
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5 乘方
- 定义: 求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做 a 的 n 次方，记作 aⁿ。
- a 叫做底数，n 叫做指数。
- aⁿ 读作 "a 的 n 次方" 或 "a 的 n 次幂"。
- 意义:
- 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 (2 是底数，3 是指数)
- (-3)² = (-3) × (-3) = 9
- -3² = -(3 × 3) = -9 (注意：负号没有参与乘方运算)
- 性质:
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
- 0 的任何正整数次幂都是 0。
- 定义: 求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做 a 的 n 次方，记作 aⁿ。
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6 混合运算
- 运算顺序 (先乘方、再乘除、最后加减，同级运算从左到右):
- 括号: 先算小括号 内，再算中括号
[ ]内，最后算大括号 内。 - 乘方: 计算乘方。
- 乘除: 乘除是同一级，从左到右计算。
- 加减: 加减是同一级，从左到右计算。
- 括号: 先算小括号 内，再算中括号
- 技巧: 可以灵活运用运算律进行简便运算。
- 运算顺序 (先乘方、再乘除、最后加减，同级运算从左到右):
科学记数法与近似数
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1 科学记数法
- 定义: 把一个大于 10 的数表示成 a × 10ⁿ 的形式 (1 ≤ |a| < 10, n 为正整数)。
- 方法:
- 确定 a：将原数的小数点向左移动，直到剩下一位整数，这个数就是 a。
- 确定 n：数一数小数点移动了几位，n 就等于这个位数。
- 例: 570,000,000 = 5.7 × 10⁸ (小数点向左移动了 8 位)
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2 近似数与有效数字
- 近似数: 接近准确数的数，约 3.14 亿人口。
- 精确度: 表示近似数与准确数接近的程度。
- 有效数字:
- 从左边第一个不是 0 的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个近似数的有效数字。
- 例: 近似数 0.03050 的有效数字是 3, 0, 5, 0 (共四个)。
学习建议与易错点提醒
- 符号是生命线: 有理数运算中，符号出错是最常见的错误，每一步都要先确定结果的符号，再计算绝对值。
- 运算顺序不能乱: 混合运算一定要严格按照“先乘方、再乘除、后加减，括号优先”的顺序来。
- 区分“-”的三种含义:
- 负号: 如 -5 (读作负五)。
- 减号: 如 3 - 5 (读作三减五)。
- 相反数符号: 如 -(-5) (读作负负五，等于 5)。
- 乘方与括号:
- (-3)² = 9 (底数是 -3)。
- -3² = -9 (底数是 3，先算乘方，再取负)。
- 灵活运用运算律: 熟练运用乘法分配律 (a(b+c)=ab+ac) 和结合律，能让计算变得非常简便。
- 数形结合: 多画数轴！数轴是理解相反数、绝对值和比较大小最直观的工具。
希望这份详细的思维导图能帮助你更好地掌握初一数学第一单元的内容！
