小数 思维导图
中心主题：小数
小数的定义与概念
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什么是小数？
- 定义： 分母是10、100、1000…的分数，可以用小数表示。
- 本质： 一种特殊的分数，是分母为10的n次方的分数的另一种书写形式。
- 作用： 表示不满“1”的数，或者在整数和整数之间进行精确的细分。
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小数的组成部分
- 整数部分： 小数点左边的部分。
- 个位： 小数点左边第一位。
- 十位、百位...： 向左依次递增。
- 小数点： ，是整数部分和小数部分的分界点。
- 小数部分： 小数点右边的部分。
- 十分位： 小数点右边第一位，表示“十分之几”。
- 百分位： 小数点右边第二位，表示“百分之几”。
- 千分位、万分位...： 向右依次递减。
- 整数部分： 小数点左边的部分。
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小数的分类
- 按整数部分是否为0：
- 纯小数： 整数部分是0的小数。（0.5, 0.08）
- 带小数： 整数部分不是0的小数。（3.14, 10.05）
- 按小数部分的位数是否有限：
- 有限小数： 小数部分的位数是有限的小数。（0.25, 3.14159）
- 无限小数： 小数部分的位数是无限的小数。
- 循环小数： 一个或几个数字依次不断重复出现。（0.333... (写作 0.3), 0.142857142857... (写作 0.142857)）
- 不循环小数（无限不循环小数）： 数字排列没有规律，永不循环。（圆周率π ≈ 3.1415926...，自然对数的底e ≈ 2.71828...）
- 按整数部分是否为0：
小数的性质与读写
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基本性质
- 小数的基本性质： 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
- 应用： 小数的化简和改写。
- 示例： 0.50 = 0.5； 3.0400 = 3.04
- 小数的基本性质： 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
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小数的大小比较
- 规则：
- 先比较整数部分,整数部分大的那个数就大。
- 整数部分相同,比较十分位，十分位大的那个数就大。
- 十分位相同,比较百分位，以此类推。
- 口诀： “位数不同，先位数；位数相同，从左比。”
- 示例： 4.5 > 3.8； 5.32 > 5.28； 1.009 < 1.01
- 规则：
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小数的读写法
- 读法：
- 整数部分： 按整数的读法来读。
- 小数点： 读作“点”。
- 小数部分： 依次读出每一个数字，如果是循环小数，要读出“循环节”。
- 示例： 18.56 读作：十八点五六； 0.003 读作：零点零零三； 0.3 读作：零点三，循环。
- 写法：
- 按照读法,在整数部分和小数部分依次写出对应的数字，点上小数点。
- 示例： 三十点零九 写作：30.09； 零点二五 写作：0.25
- 读法：
小数的运算
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小数加减法
- 法则：
- 对齐小数点： 相同数位对齐（即小数点对齐）。
- 按整数加减法法则进行计算。
- 在结果里点上小数点，使它与横线上的小数点对齐。
- 示例：
3.56 + 2.4 ------ 5.96
- 法则：
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小数乘法
- 法则：
- 按整数乘法的法则算出积。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 积的小数位数不够时，需要在前面用0补足，再点小数点。
- 示例： 4.5 × 0.6 = 2.70 (通常写作 2.7)
- 法则：
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小数除法
- 除数是整数：
- 按整数除法的法则去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
- 除数是小数：
- 先移动除数的小数点，使它变成整数。
- 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够时，用0补足）。
- 然后按照“除数是整数”的法则进行计算。
- 示例： 6.21 ÷ 0.3 = 62.1 ÷ 3 = 20.7
- 除数是整数：
小数的应用
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生活中的应用
- 价格： 商品标价（如：¥9.99）。
- 测量： 身高（1.75米）、体重（62.3公斤）、长度（15.5厘米）。
- 统计： 平均分（88.5分）、增长率（3.2%）。
- 科学： 物理常数（光速约 3.0×10⁸ m/s）。
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与其他知识的联系
- 与分数的关系：
- 互化：小数化分数（根据小数位数写成分母是10、100、1000…的分数并化简）；分数化小数（用分子除以分母）。
- 示例： 0.25 = 25/100 = 1/4； 1/2 = 0.5； 1/3 ≈ 0.333...
- 与百分数的关系：
- 互化：小数化百分数（小数点向右移动两位，加上%）；百分数化小数（去掉%，小数点向左移动两位）。
- 示例： 0.75 = 75%； 120% = 1.2
- 与科学记数法：
- 用于表示非常大或非常小的数。
- 示例： 地球质量约 5.97 × 10²⁴ 千克； 水分子直径约 3.0 × 10⁻¹⁰ 米。
- 与分数的关系：
知识拓展与注意事项
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近似数与精确度
- 精确度： 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
- 有效数字： 从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
- 示例： 3.14159 精确到百分位是 3.14，有三个有效数字（3, 1, 4）。
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常见的易错点
- 小数点对齐： 加减法必须对齐小数点，不能对齐末尾的数字。
- 积的小数位数： 乘法时，积的小数位数是两个因数小数位数的和。
- 除法余数处理： 除法时，如果除不尽，需要根据题目要求求近似值（四舍五入）或保留循环。
- “0”的处理： 化简小数时，末尾的0要去掉；但改写小数时，可以在末尾添0。
